Q3) Uma partícula viaja em uma trajetória onde sua posição pode ser descrita por:
x(t)=\frac{1}{4} t^{2}+\frac{1}{2} t \quad \text { e } \quad y(t)=\frac{\sqrt{3}}{4} t^{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} t
Determine as componentes tangencial e normal da velocidade e da aceleração da partícula, considerando que o raio desse trecho da trajetória é dado por \boldsymbol{\rho}.
\mathbf{R}: v_{t}=t+1 ; v_{n}=0 ; a_{t}=1 ; a_{n}=\frac{(t+1)^{2}}{\rho}

Passo 1

O enunciado dá as paramétricas da posição de uma partícula no plano:
x(t)=\tfrac14\,t^2+\tfrac12\,t \quad\text{e}\quad y(t)=\tfrac{\sqrt{3}}4\,t^2+\tfrac{\sqrt{3}}2\,t.
O objetivo é encontrar as componentes tangencial ( v_{t}, a_{t}) e normal ( v_{n}, a_{n}) da velocidade e da aceleração, sabendo que o raio de curvatura é \rho. O conteúdo é cinemática vetorial no referencial de Frenet.

Passo 2

Calculamos a velocidade vetorial \mathbf{v}=(\dot x,\dot y) derivando em t:
\dot x=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac14\,t^2+\tfrac12\,t\Bigr) =\tfrac12\,t+\tfrac12 =\tfrac{t+1}2,
\dot y=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}}4\,t^2+\tfrac{\sqrt{3}}2\,t\Bigr) =\tfrac{\sqrt{3}}2\,t+\tfrac{\sqrt{3}}2 =\tfrac{\sqrt{3}(t+1)}2.
O módulo da velocidade (a rapidez) é
v =\sqrt{\dot x^{2}+\dot y^{2}} =\sqrt{\Bigl(\tfrac{t+1}2\Bigr)^{2}+\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}(t+1)}2\Bigr)^{2}} =\frac{t+1}{2}\sqrt{1+3} =t+1.

Passo 3

Como v é a componente tangencial da velocidade, temos
v_{t}=v=t+1,
e a componente normal da velocidade é nula:
v_{n}=0.

Passo 4

Agora calculamos a aceleração \mathbf{a}=(\ddot x,\ddot y):
\ddot x=\frac{d}{dt}\bigl(\dot x\bigr)=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{t+1}2\Bigr)=\tfrac12, \quad \ddot y=\frac{d}{dt}\Bigl(\tfrac{\sqrt{3}(t+1)}2\Bigr)=\tfrac{\sqrt{3}}2.
A componente tangencial da aceleração é a derivada da rapidez:
a_{t}=\frac{dv}{dt}=\frac{d}{dt}(t+1)=1.

Passo 5

A componente normal da aceleração, em módulo, é dada por
a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho} =\frac{(t+1)^{2}}{\rho}.

Resposta

v_{t}=t+1
v_{n}=0
a_{t}=1
a_{n}=\dfrac{(t+1)^{2}}{\rho}

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