Q3: Sabendo que o ponto (-7,2,3, k) pertence ao plano (-1,-2,-2,-2)+\operatorname{span}\{(-3,1,3,3),(3,-3,-2,-3)\}, assinale o valor de k :
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
(F) 3
(G) 4
(H) 5

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um ponto que deve pertencer ao plano: (-7,2,3,k).
  • O plano está descrito como o ponto base (-1,-2,-2,-2) mais o subespaço gerado por dois vetores, ou seja
(-1,-2,-2,-2)+\operatorname{span}\{(-3,1,3,3),(3,-3,-2,-3)\}.
O que o exercício pede é: determinar o valor de k tal que o ponto (-7,2,3,k) pertença a esse plano (ou seja, encontrar k que torna o ponto um elemento do conjunto dado).

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Um ponto Q pertence ao conjunto \;P_0+\operatorname{span}\{v_1,v_2\}\; quando existem escalares \alpha e \beta tais que
Q = P_0 + \alpha v_1 + \beta v_2.
Aqui P_0 é o ponto base e v_1,v_2 são os vetores geradores. Cada coordenada de Q fornece uma equação linear em \alpha e \beta. Vamos introduzir esses escalares e montar o sistema.

Passo 3

Definimos \alpha,\beta\in\mathbb{R} tais que
(-7,2,3,k)=(-1,-2,-2,-2)+\alpha(-3,1,3,3)+\beta(3,-3,-2,-3).
Igualando coordenada a coordenada obtemos quatro equações:
\begin{cases} -7 = -1 -3\alpha + 3\beta,\\[4pt] 2 = -2 + \alpha -3\beta,\\[4pt] 3 = -2 + 3\alpha -2\beta,\\[4pt] k = -2 + 3\alpha -3\beta. \end{cases}]

Passo 4

Vamos simplificar a primeira equação para relacionar \alpha e \beta. Da primeira:
-7 = -1 -3\alpha + 3\beta.
Isolando os termos, passe -1 para o outro lado:
-7 + 1 = -3\alpha + 3\beta \quad\Rightarrow\quad -6 = -3\alpha + 3\beta.
Dividindo por 3:
-2 = -\alpha + \beta.
Reorganizando para \beta:
\beta = -2 + \alpha.

Passo 5

Agora use a segunda equação para determinar \alpha. A segunda equação é
2 = -2 + \alpha -3\beta.
Passe -2 para o lado esquerdo:
2 + 2 = \alpha -3\beta \quad\Rightarrow\quad 4 = \alpha -3\beta.
Substitua \beta = -2 + \alpha:
4 = \alpha -3(-2+\alpha) = \alpha +6 -3\alpha = 6 -2\alpha.
Resolva para \alpha:
4 = 6 -2\alpha \quad\Rightarrow\quad -2 = -2\alpha \quad\Rightarrow\quad \alpha = 1.

Passo 6

Com \alpha=1, volte à relação \beta = -2 + \alpha para achar \beta:
\beta = -2 + 1 = -1.

Passo 7

Verificação rápida usando a terceira equação (para garantir consistência):
Terceira equação:
3 = -2 + 3\alpha -2\beta.
Substituindo \alpha=1 e \beta=-1:
-2 + 3\cdot 1 -2\cdot(-1) = -2 + 3 + 2 = 3,
que é verdadeira, logo \alpha e \beta são consistentes com as três primeiras coordenadas.

Passo 8

Agora use a quarta equação para calcular k. A quarta equação é
k = -2 + 3\alpha -3\beta.
Substituindo \alpha=1 e \beta=-1:
k = -2 + 3\cdot 1 -3\cdot(-1) = -2 + 3 + 3 = 4.

Resposta

(G) 4

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