Q4: O conjunto dos \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que x_{2}+7 x_{3}=7 pode ser representado por:
(A) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 21 \\\\ -2 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -2 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(B) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 28 \\\\ -3 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 3 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 6 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 21 \\\\ -2 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -14 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -6\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}3 \\\\ 28 \\\\ -3 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 5 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -7 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -7 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -14 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-7 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}-2 \\\\ -7 \\\\ 2 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -7 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-5 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de todos os vetores \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)\in\mathbb{R}^{4} que satisfazem a equação
x_{2}+7x_{3}=7.
A tarefa é identificar, entre as alternativas (A) a (H), qual delas representa esse conjunto como um ponto particular mais o span (isto é, uma forma afim p+\operatorname{span}\{\cdots\}).
Informações relevantes dadas:
  • A condição é exatamente a única equação linear \;x_{2}+7x_{3}=7\;.
  • Cada alternativa fornece um vetor particular p (o primeiro somado) e três vetores que geram um subespaço por span.
    O que precisamos verificar: qual alternativa descreve precisamente o mesmo conjunto de soluções da equação.

Passo 2

Ideia geral (passo-a-passo para usar na prova): para resolver uma única equação linear em \mathbb{R}^4 fazemos duas coisas:
  1. Encontrar uma solução particular p de x_{2}+7x_{3}=7 (qualquer vetor que satisfaça a equação).
  2. Encontrar a solução do sistema homogêneo associado x_{2}+7x_{3}=0. Esse conjunto homogêneo é um subespaço vetorial H de dimensão 3 (uma vez que há uma única equação linear em 4 incógnitas). Então a solução geral é
p+H=\{p+h \mid h\in H\}.
Método prático: escolher variáveis livres para parametrizar. Por exemplo, tomar x_{1}=s,\\ x_{3}=t,\\ x_{4}=u livres; resolver para x_{2}:
x_{2}=7-7t.
Assim o vetor solução geral é
\begin{bmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}s\\\ 7-7t\t\u\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} +s\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} +t\begin{bmatrix}0\\\ -7\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix} +u\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}.
Aqui:
  • p=\begin{bmatrix}0\\\ 7\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} é uma solução particular;
  • Uma base conveniente do subespaço homogêneo H é
b_1=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix},\quad b_2=\begin{bmatrix}0\\\ -7\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix},\quad b_3=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}.
Observação didática: qualquer outra escolha de p que satisfaça a equação e qualquer outro conjunto de três vetores linearmente independentes pertencentes a H (isto é, que satisfaçam x_2+7x_3=0) dão uma descrição equivalente da mesma solução afim. Então, para testar uma alternativa, basta:
  • verificar que o vetor particular p da alternativa satisfaz x_2+7x_3=7;
  • verificar que cada gerador do span da alternativa satisfaz x_2+7x_3=0 (ou seja, pertence a H);
  • e que os três geradores são linearmente independentes (ou, mais simples, que realmente geram um subespaço de dimensão 3 dentro de H).

Passo 3

Vou aplicar esse teste às alternativas uma a uma: primeiro verifico o vetor particular p (calculo x_2+7x_3 para ele); se falhar já elimino a alternativa. Se passar, testo os geradores verificando x_2+7x_3=0 para cada um.
(A) p=\begin{bmatrix}-1\\\ 21\\\ -2\\\ 3\end{bmatrix}.
Calculo x_2+7x_3 = 21 + 7\cdot(-2) = 21-14=7. Então p satisfaz a equação (ok).
Geradores:
  • g_1=\begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ -7\end{bmatrix}: 0+7\cdot0=0 → está em H.
  • g_2=\begin{bmatrix}0\\\ -7\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}: -7 + 7\cdot0 = -7 \neq 0 → não está em H.
    Como um gerador não está em H, (A) não representa o conjunto.

Passo 4

(B) p=\begin{bmatrix}3\\\ 28\\\ -3\\\ -2\end{bmatrix}.
x_2+7x_3 = 28 + 7\cdot(-3) = 28-21=7 p ok.
Geradores:
  • \begin{bmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ -7\end{bmatrix}: 0+7\cdot0=0 → em H.
  • \begin{bmatrix}0\\\ 3\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}: 3+7\cdot0=3\neq0 → não em H.
    Portanto (B) inválida.
(C) p=\begin{bmatrix}-1\\\ 21\\\ -2\\\ 3\end{bmatrix} (mesmo que em A): 21+7(-2)=7 ok.
Geradores:
  • \begin{bmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}: 0+7\cdot0=0 → em H.
  • \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ -1\\\ 0\end{bmatrix}: 0+7\cdot(-1)=-7\neq0 → não em H.
    Logo (C) inválida.

Passo 5

(D) p=\begin{bmatrix}1\\\ -14\\\ 2\\\ -1\end{bmatrix}.
x_2+7x_3 = -14 + 7\cdot2 = -14+14=0 \neq 7. Já falha no vetor particular, então (D) inválida.
(E) p=\begin{bmatrix}3\\\ 28\\\ -3\\\ -2\end{bmatrix} (como em B) passa em p.
Geradores:
  • \begin{bmatrix}-7\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{bmatrix}: 0+7\cdot0=0 → em H.
  • \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 5\\\ 0\end{bmatrix}: 0+7\cdot5=35\neq0 → não em H.
    Assim (E) inválida.

Passo 6

(F) p=\begin{bmatrix}-2\\\ -7\\\ 2\\\ -3\end{bmatrix}.
x_2+7x_3 = -7 + 7\cdot2 = -7+14=7 p ok.
Geradores:
  • \begin{bmatrix}0\\\ 1\\\ -7\\\ 0\end{bmatrix}: 1+7\cdot(-7)=1-49=-48\neq0 → não em H.
  • Os outros geradores \begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ -2\end{bmatrix} e \begin{bmatrix}7\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix} estão em H, mas como um gerador não pertence, (F) inválida.

Passo 7

(G) p=\begin{bmatrix}1\\\ -14\\\ 2\\\ -1\end{bmatrix} como em (D): x_2+7x_3=0\neq7. Logo (G) inválida.
(H) p=\begin{bmatrix}-2\\\ -7\\\ 2\\\ -3\end{bmatrix}.
Verifico p: x_2+7x_3 = -7 + 7\cdot2 = -7+14=7. Então o vetor particular satisfaz a equação (ok).
Geradores:
  • h_1=\begin{bmatrix}0\\\ -7\\\ 1\\\ 0\end{bmatrix}: calcule x_2+7x_3=-7 + 7\cdot1 = -7+7=0 → está em H.
  • h_2=\begin{bmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 2\end{bmatrix}: 0 + 7\cdot0 = 0 → em H.
  • h_3=\begin{bmatrix}-5\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{bmatrix}: 0 + 7\cdot0 = 0 → em H.
    Todos os três geradores pertencem ao subespaço homogêneo H. Além disso, eles são claramente linearmente independentes (cada um tem coordenada não-nula em posição diferente: h_3 na primeira coordenada, h_1 em 2ª/3ª, h_2 na 4ª), portanto geram um subespaço de dimensão 3 igual a H. Assim a alternativa (H) fornece um particular mais um conjunto gerador de H, logo descreve exatamente o conjunto solução.

Resposta

(H)

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