Q3- Seja o estado Psi(x)=A e^(i k x-x^2)[1+e^-i alpha], onde alpha in R.
a) Encontre a constante de normalização A;
b) Calcule a corrente de probabilidade jmath(x);
c) Calcule os valores esperados dos operadores x e x^2.

Passo 1

O enunciado nos dá o autoestado unidimensional
Psi(x)=A,e^,i k x - x^2l[1+e^-ialphar],
com alphainR. Pede-se:
  1. A constante de normalização A.
  2. A corrente de probabilidade vecjmath(x).
  3. Os valores esperados lang<= xrang<= e lang<= x^2rang<=.
Para isso, vamos usar
  • normalização de funções gaussiana,
  • fórmula da corrente quântica unidimensional vecjmath(x)=hbarmIml[Psi^*(x),partialxPsi(x)r],
  • e integrais padrão
    integral-infty^inftye^-a x^2dx=raizpi/a e
    integral-infty^inftyx^2e^-a x^2dx=tfrac12 raizpi/a^3/2.

Passo 2

Calculamos |Psi(x)|^2:
|Psi|^2=|A|^2e^-2x^2l|1+e^-ialphar|^2 =|A|^2e^-2x^2,(2+2cosalpha) =4|A|^2cos^2!l(tfracalpha2r),e^-2x^2
A condição de normalização integral-infty^infty|Psi|^2dx=1
4|A|^2cos^2!l(tfracalpha2r)integral-infty^inftye^-2x^2dx =4|A|^2cos^2!l(tfracalpha2r)raizpi2 =1
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|A|^2 =14cos^2(tfracalpha2)raiz2pi,
e podemos escolher A real positivo:
A=(2/pi)^1/42cos(tfracalpha2)

Passo 3

Usando
vecjmath(x)=tfrachbarmIml[Psi^*,partialxPsir], calculemos
partialxPsi=A( -2x+ik)e^,ikx - x^2[1+e^-ialpha].
Então
Psi^*partialxPsi =|A|^2|1+e^-ialpha|^2e^-2x^2(-2x+ik)
e apenas o termo ik contribui à parte imaginária. Assim
vecjmath(x) =hbarm,k,|A|^2,|1+e^-ialpha|^2,e^-2x^2 =hbar km;|Psi(x)|^2

Passo 4

Os valores esperados são
lang<= xrang<= =integral-infty^inftyx,|Psi|^2dx =0 (integral ímpar), í
lang<= x^2rang<= =4|A|^2cos^2!l(tfracalpha2r) integral-infty^inftyx^2e^-2x^2dx
Usando integral x^2e^-2x^2dx=tfrac12raizpi/(2)^3/2=raizpi/(4raiz2) e
4|A|^2cos^2(tfracalpha2)=raiz2/pi^;-1 pela normalização, obtemos
lang<= x^2rang<= =raiz2pi;raizpi4raiz2 =14

Resposta

a) A=(2/pi)^1/42cos(tfracalpha2)
b) vecjmath(x)=hbar km,|Psi(x)|^2
c) lang<= xrang<==0elang<= x^2rang<==tfrac14

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