Q4: Seja A uma matriz quadrada n \times n com \operatorname{det} A \neq 0. Considere as afirmativas abaixo:
I) O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.
II) O núcleo de A é {\overrightarrow{0}}.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos:\n
Temos uma matriz quadrada A de ordem n\times n tal que \det A \neq 0.\n
O enunciado apresenta duas afirmativas:\n
I) O conjunto de colunas de A é linearmente dependente.\n
II) O núcleo de A é \{\overrightarrow{0}\}.\n
Pergunta: quais dessas afirmativas são verdadeiras? (Escolha entre as alternativas A, B, C ou D.)

Passo 2

Definição de dependência linear das colunas (passo-a-passo didático):\n
Seja v_1,v_2,\dots,v_n o conjunto das colunas de A. Dizemos que esse conjunto é linearmente dependente se existem escalares \alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n, não todos nulos, tais que
\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n = \overrightarrow{0}.
Agora, construa o vetor coluna x = \begin{pmatrix}\alpha_1\\alpha_2\\vdots\\alpha_n\end{pmatrix}. Multiplicando A por x obtemos exatamente a combinação linear das colunas com esses coeficientes:
A x = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n.
Portanto, a existência de uma combinação não-trivial de colunas que dá zero é equivalente à existência de um vetor x\neq\overrightarrow{0} tal que
A x = \overrightarrow{0}.
Ou seja, “colunas linearmente dependentes” ⇔ “existe x\neq\overrightarrow{0} com A x=\overrightarrow{0}”.

Passo 3

Definição de núcleo (null space) e relação com dependência:\n
O núcleo de A é o conjunto
\ker A = \{x\in\mathbb{R}^n \mid A x = \overrightarrow{0}\}.
Afirmativa II diz que \ker A = \{\overrightarrow{0}\}, isto é, o único vetor que é enviado para o vetor zero é o próprio vetor zero.\n
Pela equivalência mostrada no Passo 2, as colunas de A são linearmente independentes se e somente se \ker A = \{\overrightarrow{0}\}. Em linguagem prática:
  • Se \ker A contém algum vetor não-nulo, então existe uma combinação não-trivial das colunas que dá zero → as colunas são dependentes.
  • Se \ker A = \{\overrightarrow{0}\}, então não existe combinação não-trivial → as colunas são independentes.

Passo 4

O que significa \det A \neq 0 e consequência sobre o núcleo:\n
Uma propriedade fundamental (e muito útil na prova) é:
\det A \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A \text{ é invertível (existe }A^{-1}\text{)}.éí
Explicando por que isso importa para o núcleo: se A é invertível e A x = \overrightarrow{0}, multiplica-se ambos os lados por A^{-1} e obtém-se
x = A^{-1} A x = A^{-1}\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}.
Assim, quando \det A \neq 0 não pode existir vetor x\neq\overrightarrow{0} com A x=\overrightarrow{0}. Logo,
\ker A = \{\overrightarrow{0}\}.
Portanto a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Consequência para a dependência das colunas:\n
Do Passo 4 concluímos que \ker A = \{\overrightarrow{0}\}. Pelo Passo 3, isso é equivalente a dizer que as colunas de A são linearmente independentes. A afirmativa I afirmava que as colunas são linearmente dependentes; isso contradiz o que acabamos de concluir. Logo a afirmativa I é falsa.\n
Resumo lógico: \det A \neq 0 \Rightarrow A invertível \Rightarrow \ker A=\{\overrightarrow{0}\} (II verdadeira) \Rightarrow colunas linearmente independentes (I falsa).

Resposta

(C)

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