Q3: Calcule det \left(\left[\begin{array}{rrrrr}0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -4 & -3 & -2 & -3 \\\\ -2 & 1 & 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & -5 & -5 & -3 & -7\end{array}\right]\right).
Dica: Calcule via escalonamento.
(A) -9
(B) -8
(C) -7
(D) -6
(E) -5
(F) -4
(G) -3
(H) -2

Passo 1

O que o problema pede: calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ -1 & -4 & -3 & -2 & -3 \\\\ -2 & 1 & 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & -5 & -5 & -3 & -7 \end{pmatrix}.
Informações dadas relevantes:
\;A é uma matriz 5\times5. A dica diz: “Calcule via escalonamento”. Portanto vamos aplicar operações elementares sobre linhas até obter uma matriz triangular superior e usar propriedades do determinante para obter \det(A).

Passo 2

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Trocar duas linhas: se trocamos duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal; ou seja, cada troca multiplica o determinante por -1.
  • Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: essa operação não altera o determinante.
  • Multiplicar uma linha por um escalar c: multiplica o determinante por c. (Evitar fazer isso durante o escalonamento para não ter que rastrear muitos fatores.)
  • Se a matriz ficar triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
\det(\text{triangular superior})=\prod_{i=1}^{n} a_{ii}.
Usaremos essas regras e evitaremos multiplicar linhas por escalares, preferindo somar múltiplos de linhas.

Passo 3

Primeira etapa do escalonamento: precisamos de um pivô não nulo na primeira coluna. Observando A, a segunda linha tem entrada 1 na primeira coluna. Vamos trocar \,R_1 com \,R_2 para colocar esse 1 como pivô. Troca de linhas altera o sinal do determinante.
Operação: trocar R_1 \leftrightarrow R_2. Depois da troca a matriz fica
A^{(1)}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ -1 & -4 & -3 & -2 & -3 \\\\ -2 & 1 & 1 & 2 & -1 \\\\ 1 & -5 & -5 & -3 & -7 \end{pmatrix}.
E o fator acumulado no determinante é -1 por causa da troca.

Passo 4

Zerar as entradas abaixo do pivô da primeira coluna usando somas de linhas (essas operações não alteram o determinante):
  • R_3 \leftarrow R_3 + R_1 (para eliminar -1 na linha 3, coluna 1),
  • R_4 \leftarrow R_4 + 2R_1 (para eliminar -2 na linha 4),
  • R_5 \leftarrow R_5 - R_1 (para eliminar 1 na linha 5).
Calculando:
R_3' = R_3+R_1 = ( -1+1,\;-4+1,\;-3+1,\;-2+1,\;-3+1)=(0,-3,-2,-1,-2),
R_4' = R_4+2R_1 = (-2+2,\;1+2,\;1+2,\;2+2,\;-1+2)=(0,3,3,4,1),
R_5' = R_5-R_1 = (1-1,\;-5-1,\;-5-1,\;-3-1,\;-7-1)=(0,-6,-6,-4,-8).
A matriz fica
A^{(2)}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & -3 & -2 & -1 & -2 \\\\ 0 & 3 & 3 & 4 & 1 \\\\ 0 & -6 & -6 & -4 & -8 \end{pmatrix}.

Passo 5

Agora consideramos o subbloco nas colunas 2 a 5 e linhas 2 a 5. O pivô na posição (2,2) é \;3 (na linha 2). Usamos R_2 para zerar as entradas abaixo na coluna 2 (novamente somas de linhas, que não alteram o determinante):
  • Para R_3 (que tem -3 na coluna 2): R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
  • Para R_4 (que tem 3 na coluna 2): R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
  • Para R_5 (que tem -6 na coluna 2): R_5 \leftarrow R_5 + 2R_2.
Calculando:
R_3' = R_3+R_2 = (0,\; -3+3,\; -2+3,\; -1+3,\; -2+3)=(0,0,1,2,1),
R_4' = R_4-R_2 = (0,\;3-3,\;3-3,\;4-3,\;1-3)=(0,0,0,1,-2),
R_5' = R_5+2R_2 = (0,\;-6+6,\;-6+6,\;-4+6,\;-8+6)=(0,0,0,2,-2).
A matriz fica
A^{(3)}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 3 & 3 & 3 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 2 & -2 \end{pmatrix}.

Passo 6

Agora usamos o pivô 1 em (4,4) para zerar a entrada abaixo, coluna 4, linha 5. Operação (soma de linhas):
  • R_5 \leftarrow R_5 - 2R_4.
Calculando:
R_5' = R_5 - 2R_4 = (0,0,0,\;2-2\cdot1,\;-2-2\cdot(-2))=(0,0,0,0,2).
Agora a matriz está em forma triangular superior:
A^{(4)}=\begin{pmatrix} 1 & * & * & * & * \\\\ 0 & 3 & * & * & * \\\\ 0 & 0 & 1 & * & * \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & * \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
onde os * representam entradas que não afetam o produto da diagonal.
Observação: todas as operações desde a troca inicial foram ou trocas de linhas (uma troca, que introduziu fator -1) ou adição de múltiplos de uma linha em outra (que não alteram o determinante). Não multiplicamos nenhuma linha por escalar.

Passo 7

Como a matriz está triangular superior, o determinante da matriz resultante A^{(4)} é o produto dos elementos da diagonal:
\det(A^{(4)}) = 1\cdot 3\cdot 1\cdot 1\cdot 2 = 6.
Lembre que fizemos uma troca de linhas no começo, o que introduziu um fator -1. Portanto o determinante da matriz original A é
\det(A)= -1 \times \det(A^{(4)}) = -1 \times 6 = -6.

Resposta

-6

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