Informações dadas relevantes: \;A é uma matriz 5\times5. A dica diz: “Calcule via escalonamento”. Portanto vamos aplicar operações elementares sobre linhas até obter uma matriz triangular superior e usar propriedades do determinante para obter \det(A).
Passo 2
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma didática):
Trocar duas linhas: se trocamos duas linhas de uma matriz, o determinante muda de sinal; ou seja, cada troca multiplica o determinante por -1.
Adicionar a uma linha um múltiplo de outra linha: essa operação não altera o determinante.
Multiplicar uma linha por um escalar c: multiplica o determinante por c. (Evitar fazer isso durante o escalonamento para não ter que rastrear muitos fatores.)
Se a matriz ficar triangular superior, o determinante é o produto dos elementos da diagonal:
Usaremos essas regras e evitaremos multiplicar linhas por escalares, preferindo somar múltiplos de linhas.
Passo 3
Primeira etapa do escalonamento: precisamos de um pivô não nulo na primeira coluna. Observando A, a segunda linha tem entrada 1 na primeira coluna. Vamos trocar \,R_1 com \,R_2 para colocar esse 1 como pivô. Troca de linhas altera o sinal do determinante.
Operação: trocar R_1 \leftrightarrow R_2. Depois da troca a matriz fica
Agora consideramos o subbloco nas colunas 2 a 5 e linhas 2 a 5. O pivô na posição (2,2) é \;3 (na linha 2). Usamos R_2 para zerar as entradas abaixo na coluna 2 (novamente somas de linhas, que não alteram o determinante):
Para R_3 (que tem -3 na coluna 2): R_3 \leftarrow R_3 + R_2.
Para R_4 (que tem 3 na coluna 2): R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Para R_5 (que tem -6 na coluna 2): R_5 \leftarrow R_5 + 2R_2.
onde os * representam entradas que não afetam o produto da diagonal.
Observação: todas as operações desde a troca inicial foram ou trocas de linhas (uma troca, que introduziu fator -1) ou adição de múltiplos de uma linha em outra (que não alteram o determinante). Não multiplicamos nenhuma linha por escalar.
Passo 7
Como a matriz está triangular superior, o determinante da matriz resultante A^{(4)} é o produto dos elementos da diagonal: