Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Os autovalores de A^{T} podem ser diferentes dos de A.
II - Sejam \lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Entāo \lambda^{2} é autovalor de A^{2}, mas o autoespaço associado pode nāo ser H.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmativas sobre autovalores (e autovetores/autoespaços) de uma matriz A e pede para dizer quais são verdadeiras:
  • I — “Os autovalores de A^{T} podem ser diferentes dos de A.”
  • II — “Seja \lambda um autovalor da matriz A e H o respectivo autoespaço. Então \lambda^{2} é autovalor de A^{2}, mas o autoespaço associado pode não ser H.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Existe uma matriz A (campo de escalares não especificado; trabalharemos no contexto usual \mathbb{R} ou \mathbb{C}).
  • Está sendo usado o conceito de autovalor \lambda e autoespaço H=\{v\mid A v=\lambda v\}.
  • Precisamos avaliar a veracidade de cada afirmação e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).

Passo 2

Analisando a afirmativa I: “Os autovalores de A^{T} podem ser diferentes dos de A.”
Primeiro vamos lembrar (e provar de forma curta) uma propriedade simples e poderosa: a matriz A e sua transposta A^{T} têm o mesmo polinômio característico, porque
\det(A-\lambda I)=\det\bigl((A-\lambda I)^{T}\bigr)=\det(A^{T}-\lambda I).
Aqui usei duas coisas: (i) \bigl(A-\lambda I\bigr)^{T}=A^{T}-\lambda I (pois I^{T}=I), e (ii) \det(B)=\det(B^{T}) para qualquer matriz B (o determinante é inalterado pela transposição porque é soma de produtos ordenados de entradas, e transpor apenas permuta índices).
O polinômio característico de A é \chi_{A}(\lambda)=\det(A-\lambda I) e o de A^{T} é \chi_{A^{T}}(\lambda)=\det(A^{T}-\lambda I). Pelas igualdades acima temos
\chi_{A}(\lambda)=\chi_{A^{T}}(\lambda).
Portanto A e A^{T} têm exatamente os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas). Logo a afirmativa I, que diz que “podem ser diferentes”, é falsa.
Observação didática curta: os autovetores e autoespaços podem mudar ao transpor (ou seja, a decomposição de autovetores pode ser diferente), mas os autovalores não mudam — o espectro é o mesmo.

Passo 3

Analisando a afirmativa II: “Seja \lambda um autovalor de A e H o respectivo autoespaço. Então \lambda^{2} é autovalor de A^{2}, mas o autoespaço associado pode não ser H.”
Primeira parte: mostrar que \lambda^{2} é autovalor de A^{2}.
Se v\in H então, por definição de autoespaço, A v=\lambda v. Aplicando A de novo,
A^{2}v = A(Av)=A(\lambda v)=\lambda (Av)=\lambda(\lambda v)=\lambda^{2} v.
Portanto v é autovetor de A^{2} associado ao autovalor \lambda^{2}. Assim \lambda^{2} é de fato um autovalor de A^{2}, e todo v\in H é também autovetor de A^{2} para \lambda^{2}. Em notação de espaços, H\subseteq (autoespaço de A^{2} correspondente a \lambda^{2}).
Segunda parte: mostrar que o autoespaço de \lambda^{2} para A^{2} pode ser estritamente maior que H (ou seja, pode não ser igual a H) — precisamos de um exemplo concreto.
Considere a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Calcule o polinômio característico: \det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt] 0 & -\lambda\end{pmatrix}=\lambda^{2}. Logo o único autovalor é \lambda=0. O autoespaço H=\ker(A) é formado pelos vetores v com Av=0. Observando as colunas, Ae_{1}=0 e Ae_{2}=e_{1}, então
H=\operatorname{span}\{e_{1}\}=\left\{\begin{pmatrix}x\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}.
Agora calcule A^{2}. As colunas de A^{2} são A vezes as colunas de A; como Ae_{1}=0 e Ae_{2}=e_{1}, temos A^{2}e_{1}=0 e A^{2}e_{2}=A e_{1}=0. Portanto
A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},
a matriz nula. O autoespaço de A^{2} associado ao autovalor 0 (que é \lambda^{2} neste caso) é todo o espaço \mathbb{R}^{2}. Ou seja, o autoespaço de A^{2} para 0 é \mathbb{R}^{2}, que é estritamente maior que H=\operatorname{span}\{e_{1}\}. Assim mostramos que pode ocorrer que o autoespaço de \lambda^{2} para A^{2} não seja igual a H.
Conclusão: a primeira parte da afirmativa II é verdadeira (sempre), e a segunda parte também é verdadeira (pode não ser H); portanto a afirmativa II é verdadeira.
Dica intuitiva: todo autovetor de A vira autovetor de A^{2} com autovalor ao quadrado, mas A^{2} pode ter vetores próprios que não são vetores próprios de A (isso ocorre, por exemplo, quando há vetores generalizados ou quando \lambda=0).]

Passo 4

Resumo das conclusões:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
Logo a alternativa correta é a que indica “Só II é verdadeira”.

Resposta

(C)

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