Q7: Considere as afirmativas abaixo:
I - Os autovalores de
podem ser diferentes dos de
.
II - Sejam
um autovalor da matriz
e
o respectivo autoespaço. Entāo
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode nāo ser
.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
I - Os autovalores de
II - Sejam
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas sāo verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmativas sobre autovalores (e autovetores/autoespaços) de uma matriz
e pede para dizer quais são verdadeiras:
- I — “Os autovalores de
podem ser diferentes dos de .” - II — “Seja
um autovalor da matriz e o respectivo autoespaço. Então é autovalor de , mas o autoespaço associado pode não ser .”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Existe uma matriz
(campo de escalares não especificado; trabalharemos no contexto usual ou ). - Está sendo usado o conceito de autovalor
e autoespaço . - Precisamos avaliar a veracidade de cada afirmação e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A), (B), (C) e (D).
Passo 2
Analisando a afirmativa I: “Os autovalores de
podem ser diferentes dos de
.”
Primeiro vamos lembrar (e provar de forma curta) uma propriedade simples e poderosa: a matriz
e sua transposta
têm o mesmo polinômio característico, porque
Aqui usei duas coisas: (i)
(pois
), e (ii)
para qualquer matriz
(o determinante é inalterado pela transposição porque é soma de produtos ordenados de entradas, e transpor apenas permuta índices).
O polinômio característico de
é
e o de
é
. Pelas igualdades acima temos
Portanto
e
têm exatamente os mesmos autovalores (com multiplicidades algébricas). Logo a afirmativa I, que diz que “podem ser diferentes”, é falsa.
Observação didática curta: os autovetores e autoespaços podem mudar ao transpor (ou seja, a decomposição de autovetores pode ser diferente), mas os autovalores não mudam — o espectro é o mesmo.
Passo 3
Analisando a afirmativa II: “Seja
um autovalor de
e
o respectivo autoespaço. Então
é autovalor de
, mas o autoespaço associado pode não ser
.”
Primeira parte: mostrar que
é autovalor de
.
Se
então, por definição de autoespaço,
. Aplicando
de novo,
Portanto
é autovetor de
associado ao autovalor
. Assim
é de fato um autovalor de
, e todo
é também autovetor de
para
. Em notação de espaços,
(autoespaço de
correspondente a
).
Segunda parte: mostrar que o autoespaço de
para
pode ser estritamente maior que
(ou seja, pode não ser igual a
) — precisamos de um exemplo concreto.
Considere a matriz
Calcule o polinômio característico:
. Logo o único autovalor é
. O autoespaço
é formado pelos vetores
com
. Observando as colunas,
e
, então
Agora calcule
. As colunas de
são
vezes as colunas de
; como
e
, temos
e
. Portanto
a matriz nula. O autoespaço de
associado ao autovalor
(que é
neste caso) é todo o espaço
. Ou seja, o autoespaço de
para
é
, que é estritamente maior que
. Assim mostramos que pode ocorrer que o autoespaço de
para
não seja igual a
.
Conclusão: a primeira parte da afirmativa II é verdadeira (sempre), e a segunda parte também é verdadeira (pode não ser
); portanto a afirmativa II é verdadeira.
Dica intuitiva: todo autovetor de
vira autovetor de
com autovalor ao quadrado, mas
pode ter vetores próprios que não são vetores próprios de
(isso ocorre, por exemplo, quando há vetores generalizados ou quando
).]
Passo 4
Resumo das conclusões:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
Logo a alternativa correta é a que indica “Só II é verdadeira”.
Resposta
(C)