(Q7-ITA/2019) Um número natural n , escrito na base 10, tem seis dígitos, sendo 2 o primeiro. Se movermos o dígito 2 da extrema esquerda para a extrema direita, sem alterar a ordem dos dígitos intermediários, o número resultante é três vezes o número original. Determine \mathbf{n}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Informação 1: n é um número natural com seis dígitos, escrito na base 10.
  • Informação 2: o primeiro (mais à esquerda) dígito de n é 2.
  • Informação 3: Se movemos esse dígito 2 da extrema esquerda para a extrema direita, sem alterar a ordem dos demais dígitos, obtemos um novo número que é exatamente três vezes n.
O que o enunciado pede: determinar o valor de n.

Passo 2

Vamos representar n de forma conveniente. Como n tem seis dígitos e começa com 2, podemos escrever n como
n = 2\cdot 10^{5} + x,
onde x é o inteiro formado pelos cinco dígitos restantes (os cinco dígitos à direita do 2). Aqui x satisfaz
0 \le x \le 99999.
Explicando por que essa escrita funciona: multiplicar 2 por 10^{5} coloca o 2 na casa das centenas de milhar, e x ocupa as cinco casas menos significativas.
Quando movemos o 2 da esquerda para a direita, o novo número é formado por concatenar os cinco dígitos de x e depois o dígito 2. Concatenar um dígito 2 à direita de um número x equivale a fazer 10\cdot x + 2. Portanto o número obtido é
10\cdot x + 2.

Passo 3

Usando a condição do enunciado (“o número obtido é três vezes o original”), montamos a equação:
10\cdot x + 2 = 3\cdot n = 3\bigl(2\cdot 10^{5} + x\bigr).
Agora desenvolvemos o lado direito e simplificamos:
10x + 2 = 600000 + 3x.
Subtraindo 3x de ambos os lados e subtraindo 2 de ambos os lados, obtemos
7x = 599998.

Passo 4

Agora resolvemos para x:
x = \frac{599998}{7}.
Vamos verificar a divisão por 7 passo a passo (multiplicação inversa) para encontrar o inteiro x. Fazendo a multiplicação candidata
7\cdot 85714 = ?
Calculando dígito a dígito:
7 \times4 = 28 (escreve 8, leva 2)
7 \times1 = 7 mais 2 = 9 (escreve 9, leva 0)
7 \times7 = 49 (escreve 9, leva 4)
7 \times5 = 35 mais 4 = 39 (escreve 9, leva 3)
7 \times8 = 56 mais 3 = 59 (escreve 59)
Juntando os resultados da direita para a esquerda obtemos 599998. Portanto
\frac{599998}{7} = 85714,
isto é, x = 85714. Note que x está dentro do intervalo permitido e tem exatamente cinco dígitos (o que garante que n tem seis dígitos como exigido).

Passo 5

Calculamos n a partir de x:
n = 2\cdot 10^{5} + x = 200000 + 85714 = 285714.

Passo 6

Verificação final para ficar tranquilo: mover o 2 para o fim dá o número
10\cdot x + 2 = 10\cdot 85714 + 2 = 857140 + 2 = 857142.
Multiplicando n por 3:
3\cdot 285714 = 857142.
Como os dois resultados coincidem, a solução está correta. A equação linear que montamos tinha solução única inteira e válida no intervalo, logo não há outra solução.

Resposta

285714

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