(Q7-ITA/2019) Um número natural n , escrito na base 10, tem seis dígitos, sendo 2 o primeiro. Se movermos o dígito 2 da extrema esquerda para a extrema direita, sem alterar a ordem dos dígitos intermediários, o número resultante é três vezes o número original. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Informação 1:
é um número natural com seis dígitos, escrito na base 10. - Informação 2: o primeiro (mais à esquerda) dígito de
é . - Informação 3: Se movemos esse dígito
da extrema esquerda para a extrema direita, sem alterar a ordem dos demais dígitos, obtemos um novo número que é exatamente três vezes .
O que o enunciado pede: determinar o valor de
.
Passo 2
Vamos representar
de forma conveniente. Como
tem seis dígitos e começa com
, podemos escrever
como
onde
é o inteiro formado pelos cinco dígitos restantes (os cinco dígitos à direita do
). Aqui
satisfaz
Explicando por que essa escrita funciona: multiplicar
por
coloca o
na casa das centenas de milhar, e
ocupa as cinco casas menos significativas.
Quando movemos o
da esquerda para a direita, o novo número é formado por concatenar os cinco dígitos de
e depois o dígito
. Concatenar um dígito
à direita de um número
equivale a fazer
. Portanto o número obtido é
Passo 3
Usando a condição do enunciado (“o número obtido é três vezes o original”), montamos a equação:
Agora desenvolvemos o lado direito e simplificamos:
Subtraindo
de ambos os lados e subtraindo
de ambos os lados, obtemos
Passo 4
Agora resolvemos para
:
Vamos verificar a divisão por
passo a passo (multiplicação inversa) para encontrar o inteiro
. Fazendo a multiplicação candidata
Calculando dígito a dígito:
7 4 = 28 (escreve 8, leva 2)
7 1 = 7 mais 2 = 9 (escreve 9, leva 0)
7 7 = 49 (escreve 9, leva 4)
7 5 = 35 mais 4 = 39 (escreve 9, leva 3)
7 8 = 56 mais 3 = 59 (escreve 59)
7
7
7
7
7
Juntando os resultados da direita para a esquerda obtemos
. Portanto
isto é,
. Note que
está dentro do intervalo permitido e tem exatamente cinco dígitos (o que garante que
tem seis dígitos como exigido).
Passo 5
Calculamos
a partir de
:
Passo 6
Verificação final para ficar tranquilo: mover o
para o fim dá o número
Multiplicando
por
:
Como os dois resultados coincidem, a solução está correta. A equação linear que montamos tinha solução única inteira e válida no intervalo, logo não há outra solução.