(Q2-ITA/2016) Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de \sqrt[7]{\mathrm{x}} é igual a
a) 285
b) 286
c) 287
d) 288

Passo 1

O enunciado dá que x é um número natural com 2015 dígitos. A pergunta: “qual o número de dígitos da parte inteira de \sqrt[7]{\mathrm{x}}?”
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • x tem 2015 dígitos, portanto vale
10^{2014}\le x \le 10^{2015}-1.
  • Queremos o número de dígitos da parte inteira de y=\sqrt[7]{x}, isto é, do inteiro \lfloor y\rfloor.

Passo 2

Lembrete (fórmula sobre número de dígitos). Um inteiro positivo N tem exatamente d dígitos se, e só se,
10^{d-1}\le N \le 10^{d}-1.
Equivalente: o número de dígitos de N é \lfloor\log_{10}N\rfloor+1. Vou usar essa segunda forma quando for conveniente.

Passo 3

Aplicar raiz sétima à desigualdade para x. A função t\mapsto t^{1/7} é estritamente crescente para t>0, então tomar raiz sétima preserva desigualdades:
\bigl(10^{2014}\bigr)^{1/7}\le \sqrt[7]{x}\le \bigl(10^{2015}-1\bigr)^{1/7}.
Como \bigl(10^{2015}-1\bigr)^{1/7}<\bigl(10^{2015}\bigr)^{1/7}, obtemos o encadeamento mais simples
10^{2014/7}\le \sqrt[7]{x} < 10^{2015/7}.

Passo 4

Calcular as frações dos expoentes:
\frac{2014}{7}=287+\frac{5}{7}\approx 287{,}7142857\ldots, \qquad \frac{2015}{7}=287+\frac{6}{7}\approx 287{,}8571428\ldots.
Portanto temos
10^{287+\tfrac{5}{7}}\le \sqrt[7]{x} < 10^{287+\tfrac{6}{7}}.

Passo 5

Escrever em termos de potência de 10^{287}:
10^{287}\cdot 10^{5/7}\le \sqrt[7]{x} < 10^{287}\cdot 10^{6/7}.
Como 10^{5/7} e 10^{6/7} são números entre 1 e 10 (mais precisamente 10^{5/7}\approx5{,}18 e 10^{6/7}\approx7{,}21), conclui-se que
10^{287}\times(\text{algo entre }5{,}18\text{ e }7{,}21)\le \sqrt[7]{x} < 10^{287}\times 7{,}21.
Logo \sqrt[7]{x} está estritamente entre 10^{287} e 10^{288}, mais precisamente seu logaritmo decimal satisfaz
287{,}714\dots \le \log_{10}\!\bigl(\sqrt[7]{x}\bigr) < 287{,}857\dots
Isto implica que para qualquer x com 2015 dígitos o valor \log_{10}(\sqrt[7]{x}) tem parte inteira igual a 287.

Passo 6

Usando a fórmula do número de dígitos: o número de dígitos da parte inteira de \sqrt[7]{x} é
\lfloor \log_{10}(\sqrt[7]{x})\rfloor + 1 = 287 + 1 = 288.
Ou em palavras: a parte inteira de \sqrt[7]{x} tem 288 dígitos para qualquer x com 2015 dígitos.

Resposta

d) 288

Exercícios relacionados