(Q2-ITA/2016) Se x é um número natural com 2015 dígitos, então o número de dígitos da parte inteira de
é igual a
a) 285
b) 286
c) 287
d) 288
a) 285
b) 286
c) 287
d) 288
Passo 1
O enunciado dá que
é um número natural com
dígitos. A pergunta: “qual o número de dígitos da parte inteira de
?”
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
-
tem dígitos, portanto vale
- Queremos o número de dígitos da parte inteira de
, isto é, do inteiro .
Passo 2
Lembrete (fórmula sobre número de dígitos). Um inteiro positivo
tem exatamente
dígitos se, e só se,
Equivalente: o número de dígitos de
é
. Vou usar essa segunda forma quando for conveniente.
Passo 3
Aplicar raiz sétima à desigualdade para
. A função
é estritamente crescente para
, então tomar raiz sétima preserva desigualdades:
Como
, obtemos o encadeamento mais simples
Passo 4
Calcular as frações dos expoentes:
Portanto temos
Passo 5
Escrever em termos de potência de
:
Como
e
são números entre
e
(mais precisamente
e
), conclui-se que
Logo
está estritamente entre
e
, mais precisamente seu logaritmo decimal satisfaz
Isto implica que para qualquer
com
dígitos o valor
tem parte inteira igual a
.
Passo 6
Usando a fórmula do número de dígitos: o número de dígitos da parte inteira de
é
Ou em palavras: a parte inteira de
tem
dígitos para qualquer
com
dígitos.
Resposta
d) 288