Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{6} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
A) Todas são falsas.
B) Só III é verdadeira.
C) Só I e II são verdadeiras.
D) Todas são verdadeiras.
E) Só I e III são verdadeiras.
F) Só I é verdadeira.
G) Só II e III são verdadeiras.
H) Só II é verdadeira.
I) Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
II) Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III) Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.

Passo 1

O enunciado dá um conjunto de vetores \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{6} e dois sistemas representados por matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \qquad\text{e}\qquad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right].
Vou checar as três afirmações abaixo:
I) Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.
II) Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
III) Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.

Passo 2

Interpretação dos sistemas (para não confundir):
  • S_{1} representa o sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0}, onde A=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}] é uma matriz 6\times3 e \vec{x}=(x_{1},x_{2},x_{3})^{T}. Ou seja, procuramos coeficientes x_{1},x_{2},x_{3} tais que
x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}.
  • S_{2} representa o sistema B\vec{y}=\vec{v}_{3}, onde B=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}] é 6\times2 e \vec{y}=(y_{1},y_{2})^{T}. Ou seja, procuramos y_{1},y_{2} tais que
y_{1}\vec{v}_{1}+y_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.

Passo 3

Conceitos importantes (com explicação didática):
  • Definição: \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Caso contrário, \beta é linearmente dependente (LD), isto é, existe uma combinação não trivial que dá \vec{0}.
  • Teorema (relacionando colunas e soluções de homogêneo): Para a matriz A=[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}], o sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0} tem única solução \vec{x}=\vec{0} se e somente se as colunas \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são LI. Se as colunas são LD, então existe solução não trivial e, como o sistema é homogêneo, isso implica infinitas soluções (um espaço de soluções de dimensão pelo menos 1).
  • Observação sobre o sistema B\vec{y}=\vec{v}_{3}: ele tem solução exatamente quando \vec{v}_{3} pertence ao subespaço gerado por \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}, isto é, \vec{v}_{3}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI, então tal representação (se existir) é única. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LD, então podem existir zero ou infinitas representações (dependendo se \vec{v}_{3} está ou não no span).

Passo 4

Análise da afirmação I: “Se \beta é LD, então S_{1} pode ter solução única.”
  • Usando o teorema acima: S_{1} é o homogêneo A\vec{x}=\vec{0}. A solução única \vec{x}=\vec{0} ocorre exatamente quando \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI. Se \beta é LD, existe uma combinação não trivial que zera os vetores, logo existe \vec{x}\neq\vec{0} satisfazendo A\vec{x}=\vec{0}. Portanto S_{1} não pode ter solução única: terá sempre pelo menos uma solução não nula (logo infinitas soluções).
  • Conclusão: a afirmação I é falsa.
  • Exemplo concreto (para ver na prática): tome \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0)^{T}, \vec{v}_{2}=(0,1,0,0,0,0)^{T}, \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}. Aqui \beta é LD (porque \vec{v}_{3}-\vec{v}_{1}=\vec{0}). O homogêneo x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0} tem, por exemplo, (x_{1},x_{2},x_{3})=(1,0,-1) não trivial, então a solução não é única.

Passo 5

Análise da afirmação II: “Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.”
  • Se \beta é LI significa que \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são linearmente independentes. Em particular, \vec{v}_{3} não pode ser combinação linear de \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}. Mas o sistema S_{2} pergunta justamente se existem y_{1},y_{2} tais que y_{1}\vec{v}_{1}+y_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}. Se tal par (y_{1},y_{2}) existisse, teríamos uma relação linear entre \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} não trivial, contradizendo a independência linear. Logo não existem y_{1},y_{2} satisfazendo isso.
  • Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
  • Exemplo concreto: escolha \vec{v}_{1}=e_{1},\\ \vec{v}_{2}=e_{2},\\ \vec{v}_{3}=e_{3} (vetores canônicos em \mathbb{R}^{6}). Eles são LI. Não há y_{1},y_{2} tais que y_{1}e_{1}+y_{2}e_{2}=e_{3}, então S_{2} não tem solução.

Passo 6

Análise da afirmação III: “Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.”
  • A palavra-chave é “pode”: basta mostrar que existe ao menos uma situação em que \beta é LD e, ao mesmo tempo, S_{2} tem solução única.
  • Construção de um caso que funciona: tome \vec{v}_{1}=e_{1}, \vec{v}_{2}=e_{2}, \vec{v}_{3}=e_{1}+e_{2} (todos em \mathbb{R}^{6}, completando com zeros nas demais coordenadas). Então \beta é LD porque \vec{v}_{3}-\vec{v}_{1}-\vec{v}_{2}=\vec{0} (combinação não trivial). Agora S_{2} pede y_{1}\vec{v}_{1}+y_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}; nesse caso existe solução (y_{1},y_{2})=(1,1). Além disso \vec{v}_{1},\vec{v}_{2} são LI, então essa representação é única. Logo S_{2} tem solução única neste exemplo.
  • Portanto é possível (isto é, “pode”) que \beta seja LD e S_{2} tenha solução única.
  • Conclusão: a afirmação III é verdadeira.

Passo 7

Resumo lógico das três afirmações:
  • I é falsa.
  • II é verdadeira.
  • III é verdadeira.
Portanto as verdadeiras são II e III.

Resposta

G) Só II e III são verdadeiras.

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