Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
A) Todas são falsas.
B) Só III é verdadeira.
C) Só I e II são verdadeiras.
D) Todas são verdadeiras.
E) Só I e III são verdadeiras.
F) Só I é verdadeira.
G) Só II e III são verdadeiras.
H) Só II é verdadeira.
I) Se
é LD, então
pode ter solução única.
II) Se
é LI, então
não tem solução.
III) Se
é LD, então
pode ter solução única.
A) Todas são falsas.
B) Só III é verdadeira.
C) Só I e II são verdadeiras.
D) Todas são verdadeiras.
E) Só I e III são verdadeiras.
F) Só I é verdadeira.
G) Só II e III são verdadeiras.
H) Só II é verdadeira.
I) Se
II) Se
III) Se
Passo 1
O enunciado dá um conjunto de vetores
e dois sistemas representados por matrizes aumentadas:
Vou checar as três afirmações abaixo:
I) Se
é LD, então
pode ter solução única.
II) Se
é LI, então
não tem solução.
III) Se
é LD, então
pode ter solução única.
Passo 2
Interpretação dos sistemas (para não confundir):
-
representa o sistema homogêneo , onde é uma matriz e . Ou seja, procuramos coeficientes tais que
-
representa o sistema , onde é e . Ou seja, procuramos tais que
Passo 3
Conceitos importantes (com explicação didática):
- Definição:
é linearmente independente (LI) se a única solução do sistema
é
. Caso contrário,
é linearmente dependente (LD), isto é, existe uma combinação não trivial que dá
.
-
Teorema (relacionando colunas e soluções de homogêneo): Para a matriz
, o sistema homogêneo tem única solução se e somente se as colunas são LI. Se as colunas são LD, então existe solução não trivial e, como o sistema é homogêneo, isso implica infinitas soluções (um espaço de soluções de dimensão pelo menos 1). -
Observação sobre o sistema
: ele tem solução exatamente quando pertence ao subespaço gerado por e , isto é, . Se são LI, então tal representação (se existir) é única. Se são LD, então podem existir zero ou infinitas representações (dependendo se está ou não no span).
Passo 4
Análise da afirmação I: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
-
Usando o teorema acima:
é o homogêneo . A solução única ocorre exatamente quando é LI. Se é LD, existe uma combinação não trivial que zera os vetores, logo existe satisfazendo . Portanto não pode ter solução única: terá sempre pelo menos uma solução não nula (logo infinitas soluções). -
Conclusão: a afirmação I é falsa.
-
Exemplo concreto (para ver na prática): tome
, , . Aqui é LD (porque ). O homogêneo tem, por exemplo, não trivial, então a solução não é única.
Passo 5
Análise da afirmação II: “Se
é LI, então
não tem solução.”
-
Se
é LI significa que são linearmente independentes. Em particular, não pode ser combinação linear de e . Mas o sistema pergunta justamente se existem tais que . Se tal par existisse, teríamos uma relação linear entre não trivial, contradizendo a independência linear. Logo não existem satisfazendo isso. -
Conclusão: a afirmação II é verdadeira.
-
Exemplo concreto: escolha
(vetores canônicos em ). Eles são LI. Não há tais que , então não tem solução.
Passo 6
Análise da afirmação III: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
-
A palavra-chave é “pode”: basta mostrar que existe ao menos uma situação em que
é LD e, ao mesmo tempo, tem solução única. -
Construção de um caso que funciona: tome
, , (todos em , completando com zeros nas demais coordenadas). Então é LD porque (combinação não trivial). Agora pede ; nesse caso existe solução . Além disso são LI, então essa representação é única. Logo tem solução única neste exemplo. -
Portanto é possível (isto é, “pode”) que
seja LD e tenha solução única. -
Conclusão: a afirmação III é verdadeira.
Passo 7
Resumo lógico das três afirmações:
- I é falsa.
- II é verdadeira.
- III é verdadeira.
Portanto as verdadeiras são II e III.
Resposta
G) Só II e III são verdadeiras.