Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\begin{aligned} & {\left[\begin{array}{r} 0 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ -5 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l} -1 \\\\ -1 \\\\ -2 \\\\ -1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} -2 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ -2 \end{array}\right]\right\} \mathrm{e}} \\\ & {\left[\begin{array}{r} -6 \\\\ -4 \\\\ 2 \\\\ -1 \end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r} 3 \\\\ 3 \\\\ 1 \\\\ -2 \end{array}\right],\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -3 \\\\ -1 \\\\ 1 \end{array}\right]\right\} .} \end{aligned}
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente o que foi dado (cada vetor está entre colchetes como no enunciado):
  • Primeiro plano: ponto-pivô p_1=\left[\begin{array}{r}0\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]-5\end{array}\right] e vetores geradores v_1=\left[\begin{array}{r}-1\\[2pt]-1\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{array}\right], v_2=\left[\begin{array}{r}-2\\[2pt]-3\\[2pt]-1\\[2pt]-2\end{array}\right]. Em forma paramétrica:
P_1 = p_1 + s\,v_1 + t\,v_2,\quad s,t\in\mathbb{R}.
  • Segundo plano: ponto-pivô p_2=\left[\begin{array}{r}-6\\[2pt]-4\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{array}\right] e vetores geradores w_1=\left[\begin{array}{r}3\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\right], w_2=\left[\begin{array}{r}1\\[2pt]-3\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\right]. Em forma paramétrica:
P_2 = p_2 + u\,w_1 + v\,w_2,\quad u,v\in\mathbb{R}.
O que o enunciado pede: calcular o ponto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) onde esses dois planos se interceptam e, em particular, determinar o valor da entrada x_{1}.]

Passo 2

Estratégia (explicação didática curta): dois planos afins se interceptam quando existe uma escolha de parâmetros s,t,u,v tal que os pontos paramétricos coincidem:
p_1 + s\,v_1 + t\,v_2 = p_2 + u\,w_1 + v\,w_2.
Isso gera um sistema linear de quatro equações (uma para cada coordenada) nas quatro incógnitas s,t,u,v. Vou escrever essas quatro equações coordenada a coordenada e resolver o sistema por eliminação linear (operações elementares).

Passo 3

Escrevendo coordenada a coordenada, igualando P_1 e P_2:
Primeira coordenada:
0 + s(-1) + t(-2) = -6 + 3u + 1\cdot v,
ou seja
-s -2t = -6 + 3u + v.
Segunda coordenada:
3 + s(-1) + t(-3) = -4 + 3u + (-3)v,
ou seja
3 - s -3t = -4 + 3u -3v.
Terceira coordenada:
1 + s(-2) + t(-1) = 2 + 1\cdot u + (-1)\cdot v,
ou seja
1 -2s - t = 2 + u - v.
Quarta coordenada:
-5 + s(-1) + t(-2) = -1 + (-2)u + 1\cdot v,
ou seja
-5 - s -2t = -1 -2u + v.
Agora arrangei essas equações para obter um sistema linear padrão. Multiplicando todas por -1 para simplificar sinais, obtemos:
\begin{aligned} &(1)\quad s + 2t + 3u + v = 6,\\\ &(2)\quad s + 3t + 3u -3v = 7,\\\ &(3)\quad 2s + t + u - v = -1,\\\ &(4)\quad s + 2t -2u + v = -4. \end{aligned}

Passo 4

Agora faço eliminação passo a passo.
Primeiro, subtraio (1) de (2) para eliminar s e 3u fica cancelado também:
(2)-(1):\quad (s-s) + (3t-2t) + (3u-3u) + (-3v - v) = 7-6,
que dá
t -4v = 1. \tag{A}
Segundo, subtraio (4) de (1) para eliminar s e 2t:
(1)-(4):\quad (s-s) + (2t-2t) + (3u - (-2u)) + (v - v) = 6 - (-4),
que dá
5u = 10 \quad\Rightarrow\quad u = 2.

Passo 5

Substituo [u=2) em (1) e em (3) para obter equações em s,t,v.
Da equação (1):
s + 2t + 3\cdot 2 + v = 6 \quad\Rightarrow\quad s + 2t + v = 0. \tag{B}
Da equação (3):
2s + t + 2 - v = -1 \quad\Rightarrow\quad 2s + t - v = -3. \tag{C}
Já tínhamos (A): t -4v = 1.
Agora resolvo o sistema formado por (A), (B), (C). Da equação (B) isolo s:
s = -2t - v.
Substituo em (C):
2(-2t - v) + t - v = -3.
Calculando:
-4t -2v + t - v = -3 \quad\Rightarrow\quad -3t -3v = -3.
Dividindo por -3:
t + v = 1. \tag{D}
Agora resolvo (D) com (A):
\begin{cases} t + v = 1,\\\ t - 4v = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda da primeira:
5v = 0 \quad\Rightarrow\quad v = 0.
Então t = 1\]. E \(s = -2t - v = -2\cdot 1 - 0 = -2.
Recapitulando: s = -2, t = 1, u = 2, v = 0.

Passo 6

Com esses valores, calculo o ponto de interseção usando a fórmula do primeiro plano (poderia usar o segundo também; ambos devem dar o mesmo ponto).
P = p_1 + s\,v_1 + t\,v_2.
Calculo coordenada a coordenada:
Primeira coordenada:
x_{1}=0 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-2) = 0 + 2 -2 = 0.
Segunda coordenada:
x_{2}=3 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-3) = 3 + 2 -3 = 2.
Terceira coordenada:
x_{3}=1 + (-2)\cdot(-2) + 1\cdot(-1) = 1 + 4 -1 = 4.
Quarta coordenada:
x_{4}=-5 + (-2)\cdot(-1) + 1\cdot(-2) = -5 + 2 -2 = -5.
Logo o ponto de interseção é
\left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right)=\left(0,\,2,\,4,\,-5\right).
Confirmação rápida (verificação): usando o segundo plano com u=2,v=0,
p_2 + 2w_1 + 0w_2 = \left[-6,-4,2,-1\right] + 2\left[3,3,1,-2\right] = [0,2,4,-5],
o que coincide, então a solução está correta.

Resposta

(F) 0

Exercícios relacionados