Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. (Observação: em \mathbb{R}^{4}, dois planos “tipicamente” se interceptam em um ponto.) O valor da entrada x_{1} é:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2
Passo 1
O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^{4}. Vou listar claramente o que foi dado (cada vetor está entre colchetes como no enunciado):
Primeiro plano: ponto-pivô p_1=\left[\begin{array}{r}0\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]-5\end{array}\right] e vetores geradores v_1=\left[\begin{array}{r}-1\\[2pt]-1\\[2pt]-2\\[2pt]-1\end{array}\right], v_2=\left[\begin{array}{r}-2\\[2pt]-3\\[2pt]-1\\[2pt]-2\end{array}\right]. Em forma paramétrica:
Segundo plano: ponto-pivô p_2=\left[\begin{array}{r}-6\\[2pt]-4\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{array}\right] e vetores geradores w_1=\left[\begin{array}{r}3\\[2pt]3\\[2pt]1\\[2pt]-2\end{array}\right], w_2=\left[\begin{array}{r}1\\[2pt]-3\\[2pt]-1\\[2pt]1\end{array}\right]. Em forma paramétrica:
O que o enunciado pede: calcular o ponto \left(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\right) onde esses dois planos se interceptam e, em particular, determinar o valor da entrada x_{1}.]
Passo 2
Estratégia (explicação didática curta): dois planos afins se interceptam quando existe uma escolha de parâmetros s,t,u,v tal que os pontos paramétricos coincidem:
p_1 + s\,v_1 + t\,v_2 = p_2 + u\,w_1 + v\,w_2.
Isso gera um sistema linear de quatro equações (uma para cada coordenada) nas quatro incógnitas s,t,u,v. Vou escrever essas quatro equações coordenada a coordenada e resolver o sistema por eliminação linear (operações elementares).
Passo 3
Escrevendo coordenada a coordenada, igualando P_1 e P_2:
Primeira coordenada:
0 + s(-1) + t(-2) = -6 + 3u + 1\cdot v,
ou seja
-s -2t = -6 + 3u + v.
Segunda coordenada:
3 + s(-1) + t(-3) = -4 + 3u + (-3)v,
ou seja
3 - s -3t = -4 + 3u -3v.
Terceira coordenada:
1 + s(-2) + t(-1) = 2 + 1\cdot u + (-1)\cdot v,
ou seja
1 -2s - t = 2 + u - v.
Quarta coordenada:
-5 + s(-1) + t(-2) = -1 + (-2)u + 1\cdot v,
ou seja
-5 - s -2t = -1 -2u + v.
Agora arrangei essas equações para obter um sistema linear padrão. Multiplicando todas por -1 para simplificar sinais, obtemos:
\begin{aligned} &(1)\quad s + 2t + 3u + v = 6,\\\ &(2)\quad s + 3t + 3u -3v = 7,\\\ &(3)\quad 2s + t + u - v = -1,\\\ &(4)\quad s + 2t -2u + v = -4. \end{aligned}
Passo 4
Agora faço eliminação passo a passo.
Primeiro, subtraio (1) de (2) para eliminar s e 3u fica cancelado também: