Q8: O sistema homogêneo
terá solução única sempre que:
(A) as linhas de
formarem um conjunto LD.
(B) as colunas de
formarem um conjunto LI.
(C) as colunas de
formarem um conjunto LD.
(D) as linhas de
formarem um conjunto LI.
(E) Não sei
(A) as linhas de
(B) as colunas de
(C) as colunas de
(D) as linhas de
(E) Não sei
Passo 1
O enunciado pergunta: para que o sistema homogêneo
tenha solução única. As opções oferecidas são:
(A) as linhas de formarem um conjunto LD.
(B) as colunas de formarem um conjunto LI.
(C) as colunas de formarem um conjunto LD.
(D) as linhas de formarem um conjunto LI.
(E) Não sei
(A) as linhas de
(B) as colunas de
(C) as colunas de
(D) as linhas de
(E) Não sei
Informações relevantes que temos do enunciado:
- Trata-se de um sistema homogêneo
. - Não são dadas dimensões específicas para
; portanto pode ser retangular ou quadrada. - A pergunta é sobre condição que garante que a solução seja única (ou seja, que a única solução seja o vetor nulo).
Passo 2
O que significa “solução única” para o sistema homogêneo
?
- Todo sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial
. - “Solução única” aqui significa que não existe nenhuma solução não nula; isto é, o núcleo (nullspace) de
é . - Em linguagem simples: queremos que o único vetor
que satisfaz seja .
Passo 3
Vamos revisar o que significa linearmente independente (LI) / linearmente dependente (LD) para colunas e por que isso importa.
- As colunas de
são vetores em algum (ou espaço similar). - Dizer que as colunas são linearmente independentes significa que a única forma de ter
é com todos os escalares
.
- Dizer que as colunas são linearmente dependentes significa que existe uma combinação não trivial (algum
) produzindo o vetor zero.
Passo 4
Conexão direta entre colunas LI e unicidade da solução — prova explicada passo a passo (a ideia central para a prova é: escrever
como combinação linear das colunas).
- Escrevendo
em termos das colunas: se e as colunas são , então
- Se
, isso significa que houve uma combinação linear das colunas que deu o vetor zero:
- Agora: se as colunas são LI, a única forma dessa combinação ser zero é com
. Logo, o único que satisfaz é — solução única. - Contraponto: se as colunas são LD, existe um vetor
tal que , então há infinitas (ou pelo menos outra) soluções — não é única.
Conclusão desta parte: “as colunas de
serem LI” é exatamente a condição necessária e suficiente para que o sistema homogêneo tenha apenas a solução trivial.
Passo 5
Relação com posto (rank) e dimensões — uma visão alternativa útil para prova e para prova em prova rápida:
- Seja
o número de colunas de (número de incógnitas). O sistema homogêneo tem solução única exatamente quando . - Pelo teorema dimensão (teorema da nulidade e posto):
- Para
é necessário . Mas significa que as colunas têm posto máximo e, portanto, são linearmente independentes. - Observação prática: se
não for quadrada (por exemplo, mais incógnitas que equações), normalmente não se consegue se . Isso mostra por que falar apenas sobre linhas LI/LD sem ver dimensões não resolve a questão.
Passo 6
Agora avalio cada alternativa dada usando o que provamos:
- (A) “as linhas de
formarem um conjunto LD.” Se as linhas forem LD isso não garante unicidade. Linhas LD apenas dizem algo sobre dependência entre equações; não impõem diretamente que o núcleo seja trivial. Portanto (A) é falsa. - (B) “as colunas de
formarem um conjunto LI.” Conforme a prova no Passo 4, essa condição é exatamente a que garante que admita apenas a solução trivial. Portanto (B) é verdadeira. - (C) “as colunas de
formarem um conjunto LD.” Isso é o oposto do que queremos: colunas LD implica existência de solução não nula, logo não há solução única. (C) é falsa. - (D) “as linhas de
formarem um conjunto LI.” Linhas LI significam que as equações são independentes entre si, mas isso não garante que não exista vetor não nulo em se o número de incógnitas for maior que o posto. Um contraexemplo numérico é didático e rápido: - Considere
As duas linhas são linearmente independentes, então as linhas são LI. Porém ao resolver com obtemos e livre; assim há infinitas soluções (por exemplo é solução não trivial). Logo ter linhas LI não garante solução única — (D) é falsa. - (E) “Não sei” — não se aplica porque já determinamos a resposta correta.]
Passo 7
Resumo didático e dica de prova rápida para a prova:
- Atalho para a prova em prova: escreva que
é a combinação linear das colunas igual a zero; afirmar que só a solução trivial existe é o mesmo que afirmar que as colunas são LI. Então marque (B). - Se quiser usar posto: verifique se
(número de colunas). Se sim, solução única; se , existem soluções não triviais.
Resposta
(B)