Q8: O sistema homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} terá solução única sempre que:
(A) as linhas de A formarem um conjunto LD.
(B) as colunas de A formarem um conjunto LI.
(C) as colunas de A formarem um conjunto LD.
(D) as linhas de A formarem um conjunto LI.
(E) Não sei

Passo 1

O enunciado pergunta: para que o sistema homogêneo A\vec{x}=\overrightarrow{0} tenha solução única. As opções oferecidas são:
(A) as linhas de A formarem um conjunto LD.
(B) as colunas de A formarem um conjunto LI.
(C) as colunas de A formarem um conjunto LD.
(D) as linhas de A formarem um conjunto LI.
(E) Não sei
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • Trata-se de um sistema homogêneo \,A\vec{x}=\overrightarrow{0}\,.
  • Não são dadas dimensões específicas para A; portanto A pode ser retangular ou quadrada.
  • A pergunta é sobre condição que garante que a solução seja única (ou seja, que a única solução seja o vetor nulo).

Passo 2

O que significa “solução única” para o sistema homogêneo \,A\vec{x}=\overrightarrow{0}\,?
  • Todo sistema homogêneo sempre tem pelo menos a solução trivial \,\vec{x}=\overrightarrow{0}\,.
  • “Solução única” aqui significa que não existe nenhuma solução não nula; isto é, o núcleo (nullspace) de A é \{\overrightarrow{0}\}.
  • Em linguagem simples: queremos que o único vetor \vec{x} que satisfaz A\vec{x}=\overrightarrow{0} seja \vec{x}=\overrightarrow{0}.

Passo 3

Vamos revisar o que significa linearmente independente (LI) / linearmente dependente (LD) para colunas e por que isso importa.
  • As colunas de A são vetores \vec{a}_1,\vec{a}_2,\dots,\vec{a}_n em algum \mathbb{R}^m (ou espaço similar).
  • Dizer que as colunas são linearmente independentes significa que a única forma de ter
c_1\vec{a}_1+c_2\vec{a}_2+\cdots+c_n\vec{a}_n=\overrightarrow{0}
é com todos os escalares c_1=c_2=\cdots=c_n=0.
  • Dizer que as colunas são linearmente dependentes significa que existe uma combinação não trivial (algum c_i\neq0) produzindo o vetor zero.

Passo 4

Conexão direta entre colunas LI e unicidade da solução — prova explicada passo a passo (a ideia central para a prova é: escrever A\vec{x} como combinação linear das colunas).
  • Escrevendo A\vec{x} em termos das colunas: se \vec{x}=(x_1,\dots,x_n)^T e as colunas são \vec{a}_1,\dots,\vec{a}_n, então
A\vec{x}=x_1\vec{a}_1+\cdots+x_n\vec{a}_n.
  • Se A\vec{x}=\overrightarrow{0}, isso significa que houve uma combinação linear das colunas que deu o vetor zero:
x_1\vec{a}_1+\cdots+x_n\vec{a}_n=\overrightarrow{0}.
  • Agora: se as colunas são LI, a única forma dessa combinação ser zero é com x_1=\cdots=x_n=0. Logo, o único \vec{x} que satisfaz A\vec{x}=\overrightarrow{0} é \vec{x}=\overrightarrow{0} — solução única.
  • Contraponto: se as colunas são LD, existe um vetor \vec{x}\neq\overrightarrow{0} tal que A\vec{x}=\overrightarrow{0}, então há infinitas (ou pelo menos outra) soluções — não é única.
Conclusão desta parte: “as colunas de A serem LI” é exatamente a condição necessária e suficiente para que o sistema homogêneo tenha apenas a solução trivial.

Passo 5

Relação com posto (rank) e dimensões — uma visão alternativa útil para prova e para prova em prova rápida:
  • Seja n o número de colunas de A (número de incógnitas). O sistema homogêneo tem solução única exatamente quando \dim(\ker A)=0.
  • Pelo teorema dimensão (teorema da nulidade e posto):
\mathrm{rank}(A)+\dim(\ker A)=n.
  • Para \dim(\ker A)=0 é necessário \mathrm{rank}(A)=n. Mas \mathrm{rank}(A)=n significa que as colunas têm posto máximo e, portanto, são linearmente independentes.
  • Observação prática: se A não for quadrada (por exemplo, mais incógnitas que equações), normalmente não se consegue \mathrm{rank}(A)=n se n>m. Isso mostra por que falar apenas sobre linhas LI/LD sem ver dimensões não resolve a questão.

Passo 6

Agora avalio cada alternativa dada usando o que provamos:
  • (A) “as linhas de A formarem um conjunto LD.” Se as linhas forem LD isso não garante unicidade. Linhas LD apenas dizem algo sobre dependência entre equações; não impõem diretamente que o núcleo seja trivial. Portanto (A) é falsa.
  • (B) “as colunas de A formarem um conjunto LI.” Conforme a prova no Passo 4, essa condição é exatamente a que garante que A\vec{x}=\overrightarrow{0} admita apenas a solução trivial. Portanto (B) é verdadeira.
  • (C) “as colunas de A formarem um conjunto LD.” Isso é o oposto do que queremos: colunas LD implica existência de solução não nula, logo não há solução única. (C) é falsa.
  • (D) “as linhas de A formarem um conjunto LI.” Linhas LI significam que as equações são independentes entre si, mas isso não garante que não exista vetor não nulo em \ker A se o número de incógnitas for maior que o posto. Um contraexemplo numérico é didático e rápido:
    • Considere
    A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.As duas linhas são linearmente independentes, então as linhas são LI. Porém ao resolver A\vec{x}=\overrightarrow{0} com \vec{x}=(x_1,x_2,x_3)^T obtemos x_1=0,\\ x_2=0 e x_3 livre; assim há infinitas soluções (por exemplo \vec{x}=(0,0,1)^T é solução não trivial). Logo ter linhas LI não garante solução única — (D) é falsa.
  • (E) “Não sei” — não se aplica porque já determinamos a resposta correta.]

Passo 7

Resumo didático e dica de prova rápida para a prova:
  • Atalho para a prova em prova: escreva que A\vec{x}=\overrightarrow{0} é a combinação linear das colunas igual a zero; afirmar que só a solução trivial existe é o mesmo que afirmar que as colunas são LI. Então marque (B).
  • Se quiser usar posto: verifique se \mathrm{rank}(A)=n (número de colunas). Se sim, solução única; se \mathrm{rank}(A)<n, existem soluções não triviais.

Resposta

(B)

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