Em cada item, cite ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Um grupo infinito e abeliano.

Passo 1

O que o enunciado pede: citar ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem uma estrutura que seja simultaneamente
  • um grupo;
  • infinito;
  • abeliano (comutativo).
Informações que precisamos dar: o conjunto G e a operação \ast (ou outro símbolo) que tornam (G,\ast) um grupo; e mostrar por que esse grupo é infinito e por que é abeliano. Nada mais foi pedido.

Passo 2

Lembrete rápido e claro do que é um grupo (para você poder, na prova, checar cada ponto).
Uma estrutura (G,\ast) é um grupo se satisfizer quatro propriedades:
  1. (Fechamento) Para todo a,b\in G vale a\ast b\in G.
  2. (Associatividade) Para todo a,b,c\in G vale (a\ast b)\ast c = a\ast(b\ast c).
  3. (Elemento neutro) Existe e\in G tal que, para todo a\in G, e\ast a = a = a\ast e.
  4. (Inversos) Para todo a\in G existe a^{-1}\in G tal que a\ast a^{-1}=e=a^{-1}\ast a.
Dizemos que o grupo é abeliano (ou comutativo) se, além disso, para todos a,b\in G tivermos a\ast b = b\ast a.
Esses são os itens que vou verificar no exemplo que vou dar. Pensa nisso como uma checklist que o professor vai querer ver: fechamento, associatividade, neutro, inverso e comutatividade — e também mostrar que o conjunto tem infinitos elementos.

Passo 3

Escolha natural para um exemplo simples e clássico (ótimo para prova): os inteiros com adição.
Vou propor o exemplo explicitando conjunto e operação como pedido:
  • Conjunto: G=\mathbb{Z} (o conjunto de todos os inteiros: \dots,-2,-1,0,1,2,\dots).
  • Operação: a adição usual, denotada por +.
Ou seja, a estrutura é (\mathbb{Z},+).
Agora vou verificar, passo a passo, as propriedades de grupo e a comutatividade, explicando cada uma didaticamente.

Passo 4

Verificação das propriedades de grupo para (\mathbb{Z},+).
Fechamento:
  • Tome a,b\in\mathbb{Z}. A soma a+b é, pelos fatos básicos da aritmética, um inteiro. Então a+b\in\mathbb{Z}.
  • Em palavras: somar dois inteiros dá sempre um inteiro — fechamento confirmado.
Associatividade:
  • Para inteiros a adição é associativa: para quaisquer a,b,c\in\mathbb{Z} vale (a+b)+c = a+(b+c).
  • Isso vem das propriedades da adição inteira (pode-se ver por definição algébrica ou por construções de Peano, mas na prática na prova basta afirmar que a adição é associativa e citar como justificativa a propriedade conhecida da adição dos inteiros).
Elemento neutro:
  • O elemento neutro para a adição é 0. Para todo a\in\mathbb{Z}, 0 + a = a = a + 0.
  • Logo 0\in\mathbb{Z} é o elemento identidade.
Inversos:
  • Para cada a\in\mathbb{Z} o inverso aditivo é -a, pois a + (-a) = 0 = (-a) + a.
  • Assim todo elemento tem inverso em \mathbb{Z}.
Com isso, (\mathbb{Z},+) satisfaz fechamento, associatividade, existência de neutro e de inversos: é um grupo.

Passo 5

Verificação da comutatividade e da infinitude.
Comutatividade (grupo abeliano):
  • Para todos a,b\in\mathbb{Z} vale a + b = b + a,porque a adição dos inteiros é comutativa. Portanto (\mathbb{Z},+) é abeliano.
Infinitude:
  • O conjunto \mathbb{Z} é infinito: pode-se ver que existem infinitos inteiros enumerando 0,1,-1,2,-2,3,-3,\dots — nunca acabamos de listar. Formalmente, existe injeção de \mathbb{N} em \mathbb{Z}, logo \mathbb{Z} não é finito.
  • Então o grupo tem infinitos elementos.
Conclusão: (\mathbb{Z},+) é um grupo infinito e abeliano.

Passo 6

Dica rápida de prova: se o professor pedir “dar um exemplo de grupo infinito e abeliano” — escreva exatamente:
  • o par (\mathbb{Z},+);
  • depois cheque em poucas linhas: fechamento (soma de inteiros é inteiro), associatividade (propriedade da adição), neutro 0, inverso -a, e comutatividade a+b=b+a. Termine dizendo que \mathbb{Z} é infinito porque há infinitos inteiros. Isso costuma ser suficiente numa prova curta.

Resposta

(\mathbb{Z},+)

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