Em cada item, cite ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem a estrutura do grupo.
Um grupo infinito e abeliano.
Um grupo infinito e abeliano.
Passo 1
O que o enunciado pede: citar ao menos um exemplo explicitando o conjunto e a operação que definem uma estrutura que seja simultaneamente
- um grupo;
- infinito;
- abeliano (comutativo).
Informações que precisamos dar: o conjunto
e a operação
(ou outro símbolo) que tornam
um grupo; e mostrar por que esse grupo é infinito e por que é abeliano. Nada mais foi pedido.
Passo 2
Lembrete rápido e claro do que é um grupo (para você poder, na prova, checar cada ponto).
Uma estrutura é um grupo se satisfizer quatro propriedades:
Uma estrutura
- (Fechamento) Para todo
vale . - (Associatividade) Para todo
vale . - (Elemento neutro) Existe
tal que, para todo , . - (Inversos) Para todo
existe tal que .
Dizemos que o grupo é abeliano (ou comutativo) se, além disso, para todos
tivermos
.
Esses são os itens que vou verificar no exemplo que vou dar. Pensa nisso como uma checklist que o professor vai querer ver: fechamento, associatividade, neutro, inverso e comutatividade — e também mostrar que o conjunto tem infinitos elementos.
Passo 3
Escolha natural para um exemplo simples e clássico (ótimo para prova): os inteiros com adição.
Vou propor o exemplo explicitando conjunto e operação como pedido:
Vou propor o exemplo explicitando conjunto e operação como pedido:
- Conjunto:
(o conjunto de todos os inteiros: ). - Operação: a adição usual, denotada por
.
Ou seja, a estrutura é
.
Agora vou verificar, passo a passo, as propriedades de grupo e a comutatividade, explicando cada uma didaticamente.
Passo 4
Verificação das propriedades de grupo para
.
Fechamento:
- Tome
. A soma é, pelos fatos básicos da aritmética, um inteiro. Então . - Em palavras: somar dois inteiros dá sempre um inteiro — fechamento confirmado.
Associatividade:
- Para inteiros a adição é associativa: para quaisquer
vale - Isso vem das propriedades da adição inteira (pode-se ver por definição algébrica ou por construções de Peano, mas na prática na prova basta afirmar que a adição é associativa e citar como justificativa a propriedade conhecida da adição dos inteiros).
Elemento neutro:
- O elemento neutro para a adição é
. Para todo , - Logo
é o elemento identidade.
Inversos:
- Para cada
o inverso aditivo é , pois - Assim todo elemento tem inverso em
.
Com isso,
satisfaz fechamento, associatividade, existência de neutro e de inversos: é um grupo.
Passo 5
Verificação da comutatividade e da infinitude.
Comutatividade (grupo abeliano):
- Para todos
vale porque a adição dos inteiros é comutativa. Portanto é abeliano.
Infinitude:
- O conjunto
é infinito: pode-se ver que existem infinitos inteiros enumerando — nunca acabamos de listar. Formalmente, existe injeção de em , logo não é finito. - Então o grupo tem infinitos elementos.
Conclusão:
é um grupo infinito e abeliano.
Passo 6
Dica rápida de prova: se o professor pedir “dar um exemplo de grupo infinito e abeliano” — escreva exatamente:
- o par
; - depois cheque em poucas linhas: fechamento (soma de inteiros é inteiro), associatividade (propriedade da adição), neutro
, inverso , e comutatividade . Termine dizendo que é infinito porque há infinitos inteiros. Isso costuma ser suficiente numa prova curta.