(c) B^{-1} ; \quad(d)(A B)^{-1};
(e) \operatorname{det}\text{(C)}, onde C A^{T}=2 B C^{2}.
30. Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que \operatorname{det} Q \neq 0 e Q^{3}+2 Q^{2}=0. Determine o valor de \operatorname{det} Q.
31. Dada a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 5 & -1 & 3 \\\\ -1 & 2 & -2 & 4 \\\\ 6 & 7 & 3 & -1 \\\\ 5 & 3 & 0 & 4\end{array}\right], determine:
(a) \operatorname{det} A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) \operatorname{det} A^{T};
(c) \operatorname{det}\left(A^{2}\right);
Passo 1
O enunciado tem três partes distintas:
– Determinar (c) \det(B^{-1}), (d) \det\bigl((AB)^{-1}\bigr) e (e) \det\text{(C)} dada a relação
C\,A^{T}=2\,B\,C^{2}.
– Problema 30: achar \det Q para matriz quadrada Q de ordem n invertível que satisfaz
Fazendo R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}, R_{3}\leftarrow R_{3}-6R_{1}, R_{4}\leftarrow R_{4}-5R_{1} e depois eliminar abaixo do pivô de cada coluna por combinações lineares, chega-se a uma matriz triangular superior com autovalores na diagonal
1,\;7,\;-\tfrac{6}{7},\;-\tfrac{29}{3}.
O determinante é o produto desses valores, sem nenhum fator extra, pois só usamos operações do tipo R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j}: