(c) B^{-1} ; \quad(d)(A B)^{-1};
(e) \operatorname{det}\text{(C)}, onde C A^{T}=2 B C^{2}.
30. Seja Q uma matriz quadrada de ordem n tal que \operatorname{det} Q \neq 0 e Q^{3}+2 Q^{2}=0. Determine o valor de \operatorname{det} Q.
31. Dada a matriz A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 5 & -1 & 3 \\\\ -1 & 2 & -2 & 4 \\\\ 6 & 7 & 3 & -1 \\\\ 5 & 3 & 0 & 4\end{array}\right], determine:
(a) \operatorname{det} A utilizando as operações elementares sobre as linhas de A;
(b) \operatorname{det} A^{T};
(c) \operatorname{det}\left(A^{2}\right);

Passo 1

O enunciado tem três partes distintas:
– Determinar (c) \det(B^{-1}), (d) \det\bigl((AB)^{-1}\bigr) e (e) \det\text{(C)} dada a relação
C\,A^{T}=2\,B\,C^{2}.
– Problema 30: achar \det Q para matriz quadrada Q de ordem n invertível que satisfaz
Q^{3}+2\,Q^{2}=0.
– Problema 31: para
A=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & 3\\\\ -1 & 2 & -2 & 4\\\\ 6 & 7 & 3 & -1\\\\ 5 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix},
calcular (a) \det A por operações elementares sobre linhas, (b) \det A^{T} e (c) \det(A^{2}).

Passo 2

Pela propriedade de determinante de inversa, para matriz invertível B vale
\det\bigl(B^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(B)}.

Passo 3

Como \det é multiplicativo e (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, temos
\det\bigl((AB)^{-1}\bigr) =\det\bigl(B^{-1}A^{-1}\bigr) =\det(B^{-1})\,\det(A^{-1}) =\frac{1}{\det(B)}\;\frac{1}{\det(A)} =\frac{1}{\det(A)\,\det(B)}.

Passo 4

Da relação C\,A^{T}=2\,B\,C^{2}, tomando determinantes dos dois lados,
\det\text{(C)}\,\det\bigl(A^{T}\bigr) =\det\text{(C)}\,\det(A) =\det\bigl(2\,B\,C^{2}\bigr) =2^{n}\,\det(B)\,\det\bigl(C^{2}\bigr) =2^{n}\,\det(B)\,\bigl[\det\text{(C)}\bigr]^{2}.
Como \det\text{(C)}\neq0, divide-se ambos os lados por \det\text{(C)} e obtém-se
\det(A)=2^{n}\,\det(B)\,\det\text{(C)} \quad\Longrightarrow\quad \det\text{(C)}=\frac{\det(A)}{2^{n}\,\det(B)}.

Passo 5

Para Q^{3}+2Q^{2}=0 note que
Q^{2}(Q+2I)=0.
Como Q é invertível, Q^{2} também é invertível, logo a única forma de produto dar matriz nula é
Q+2I=0 \;\Longrightarrow\; Q=-2I.
Então
\det(Q)=\det(-2I)=(-2)^{n}.

Passo 6

Vamos calcular \det A por eliminação de Gauss, sem trocar linhas nem escalar:
Inicialmente
A=\begin{pmatrix} 1 & 5 & -1 & 3\\\\ -1 & 2 & -2 & 4\\\\ 6 & 7 & 3 & -1\\\\ 5 & 3 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
Fazendo R_{2}\leftarrow R_{2}+R_{1}, R_{3}\leftarrow R_{3}-6R_{1}, R_{4}\leftarrow R_{4}-5R_{1} e depois eliminar abaixo do pivô de cada coluna por combinações lineares, chega-se a uma matriz triangular superior com autovalores na diagonal
1,\;7,\;-\tfrac{6}{7},\;-\tfrac{29}{3}.
O determinante é o produto desses valores, sem nenhum fator extra, pois só usamos operações do tipo R_{i}\leftarrow R_{i}+kR_{j}:
\det(A) =1\cdot7\cdot\Bigl(-\frac{6}{7}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{29}{3}\Bigr) =\;58.

Passo 7

Pelo fato geral de determinante,
\det\bigl(A^{T}\bigr)=\det(A)=58.

Passo 8

Finalmente, como \det(A^{2})=\bigl[\det(A)\bigr]^{2}, segue
\det(A^{2})=58^{2}=3364.

Resposta

(c) \displaystyle \det(B^{-1})=\frac{1}{\det(B)}.
(d) \displaystyle \det\bigl((AB)^{-1}\bigr)=\frac{1}{\det(A)\,\det(B)}.
(e) \displaystyle \det\text{(C)}=\frac{\det(A)}{2^{n}\,\det(B)}.
  1. \displaystyle \det(Q)=(-2)^{n}.
31.(a) \displaystyle \det(A)=58.
31.(b) \displaystyle \det(A^{T})=58.
31.(c) \displaystyle \det(A^{2})=3364.

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