Resolva as seguintes equações:
\left|\begin{array}{cc}x & -1 \\\\ 3 & 1-x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\\\ 2 & x & -6 \\\\ 1 & 3 & x-5\end{array}\right|.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação em x
\left|\begin{array}{cc} x & -1\\[6pt] 3 & 1 - x \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3\\[4pt] 2 & x & -6\\[4pt] 1 & 3 & x - 5 \end{array}\right|.
O conteúdo necessário é o cálculo de determinantes de ordem 2 e 3 e a solução de uma equação polinomial (quadrática).]

Passo 2

Calculamos o determinante à esquerda, que é de ordem 2:
\left|\begin{array}{cc} x & -1\\\\ 3 & 1-x \end{array}\right| = x\,(1-x) - (-1)\cdot3 = x - x^2 + 3 = -\,x^2 + x + 3.

Passo 3

Calculamos o determinante à direita, que é de ordem 3, fazendo expansão pela primeira linha:
\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3\\\\ 2 & x & -6\\\\ 1 & 3 & x-5 \end{array}\right| = 1\cdot\left|\begin{array}{cc} x & -6\\\\ 3 & x-5 \end{array}\right| -0\cdot\bigl(\dots\bigr) +(-3)\cdot\left|\begin{array}{cc} 2 & x\\\\ 1 & 3 \end{array}\right|.
Agora cada menor:
\left|\begin{array}{cc} x & -6\\\\ 3 & x-5 \end{array}\right| = x\,(x-5) - (-6)\cdot3 = x^2 - 5x + 18,
\left|\begin{array}{cc} 2 & x\\\\ 1 & 3 \end{array}\right| = 2\cdot3 - x\cdot1 = 6 - x.
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\left|\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -3\\\\ 2 & x & -6\\\\ 1 & 3 & x-5 \end{array}\right| = (x^2 - 5x + 18) + (-3)(6 - x) = x^2 - 5x + 18 -18 + 3x = x^2 - 2x.

Passo 4

Igualamos os dois resultados obtidos e reorganizamos em forma de equação quadrática:
-\,x^2 + x + 3 = x^2 - 2x \quad\Longrightarrow\quad 0 = x^2 - 2x + x^2 - x - 3 = 2x^2 - 3x - 3.

Passo 5

Resolvemos a equação
2x^2 - 3x - 3 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot2\cdot(-3)}}{2\cdot2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 24}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{4}.

Resposta

x = \frac{3 + \sqrt{33}}{4} \quad\text{ou}\quad x = \frac{3 - \sqrt{33}}{4}.

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