4.9* Um quadrado de lado 2 m tem uma carga de 20 \mu \mathrm{C} em cada um de seus quatro vértices. Determine o campo elétrico no ponto 5 m acima do centro do quadrado.

Passo 1

O enunciado dá um quadrado de lado 2\\ \mathrm{m} com uma carga de 20\\ \mu\mathrm{C} em cada um dos quatro vértices. Pede-se o campo elétrico no ponto que está 5\\ \mathrm{m} acima do centro do quadrado (ou seja, sobre o eixo perpendicular ao plano do quadrado que passa pelo centro, a 5\\ \mathrm{m} de distância).\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{lado do quadrado } a = 2\\ \mathrm{m},
\text{cada carga } q = 20\\ \mu\mathrm{C} = 20\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
\text{ponto de interesse a } z=5\\ \mathrm{m}\text{ acima do centro.}
O que precisamos encontrar: o vetor campo elétrico \mathbf{E} naquele ponto (módulo e direção).

Passo 2

Relembrando a lei que vamos usar (aulas rápidas): o campo elétrico criado por uma carga pontual q no ponto onde a distância até a carga é r é dado por Coulomb:
\mathbf{E} = k\frac{q}{r^{2}}\hat{r},
onde k é a constante eletrostática ( k\approx 8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}), r é a distância entre carga e ponto, e \hat{r} é o versor que aponta da carga para o ponto (campo aponta para fora se q>0).\n
Quando decompomos o campo em componentes, usamos trigonometria: se \theta é o ângulo entre \hat{r} e o eixo z, a componente z do campo é
E_{z}=E\cos\theta = \left(k\frac{q}{r^{2}}\right)\frac{z}{r} = k\frac{q\,z}{r^{3}},
porque \cos\theta = \dfrac{\text{projeção no eixo }z}{r}=\dfrac{z}{r}çã. Aqui z é a distância vertical (no nosso caso z=5\\ \mathrm{m}).

Passo 3

Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente: centro do quadrado em (0,0,0), plano do quadrado no plano z=0, o ponto pedido em (0,0,5). Metade do lado é 1\\ \mathrm{m}, então os vértices estão em (\pm1,\pm1,0) — peguei essas coordenadas dos vértices a partir do enunciado do quadrado de lado 2\\ \mathrm{m}.\n
A distância no plano do centro até um vértice (projeção em xy) é
R_{\text{plano}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
A distância do vértice até o ponto (0,0,5) é, portanto,
r=\sqrt{R_{\text{plano}}^{2}+5^{2}}=\sqrt{2+25}=\sqrt{27}.
Observação: não tenho incerteza aqui — os valores das coordenadas e de 5\\ \mathrm{m} vinham do enunciado.

Passo 4

Simetria importante (isso simplifica muito): as quatro cargas são iguais e estão dispostas simetricamente ao redor do centro. As componentes horizontais (em x e y) dos campos gerados por todas as cargas se cancelam entre si, porque para cada vértice existe outro vértice simétrico que produz a componente horizontal oposta. Logo, só resta a componente no eixo z (vertical).\n
Campo produzido por uma única carga no ponto, em módulo:
E_{\text{uma}}=k\frac{q}{r^{2}}.
Componente vertical (usando \cos\theta = \dfrac{5}{r}):
E_{z,\text{uma}}=E_{\text{uma}}\cos\theta = k\frac{q}{r^{2}}\cdot\frac{5}{r}=k\frac{q\cdot 5}{r^{3}}.

Passo 5

Somando a contribuição das quatro cargas (elas têm a mesma E_{z} e somam, pois todas contribuem para o mesmo sentido em z — para cargas positivas o campo aponta para cima no ponto acima do plano):
E_{z,\text{total}}=4\cdot E_{z,\text{uma}}=4\cdot k\frac{q\cdot 5}{r^{3}} = 20\,k\frac{q}{r^{3}}.
Podemos deixar em forma simbólica usando r=\sqrt{27}=3\sqrt{3}. Note que
r^{3}=(3\sqrt{3})^{3}=81\sqrt{3},
portanto a forma exata seria
E_{z,\text{total}}=20kq\big/(81\sqrt{3}).

Passo 6

Agora vamos calcular numericamente. Usando k=8{,}9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}} e q=20\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, e r=\sqrt{27}\approx5{,}196152423\\ \mathrm{m}, temos:
20kq = 20\cdot(8{,}9875517923\times10^{9})\cdot(20\times10^{-6}) \approx 3{,}5950207169\times10^{6}.
E
r^{3}\approx(5{,}196152423)^{3}\approx140{,}2961154.
Dividindo,
E_{z,\text{total}}\approx \frac{3{,}5950207169\times10^{6}}{140{,}2961154}\approx 2{,}56137\times10^{4}\\ \mathrm{N/C}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E_{z,\text{total}}\approx 2{,}56\times10^{4}\\ \mathrm{N/C},
e a direção é para cima (sentido positivo do eixo z), porque as cargas são positivas.

Resposta

\mathbf{E}=2{,}56\times10^{4}\,\hat{z}\\ \mathrm{N/C}

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