4.9* Um quadrado de lado 2 m tem uma carga de
em cada um de seus quatro vértices. Determine o campo elétrico no ponto 5 m acima do centro do quadrado.
Passo 1
O enunciado dá um quadrado de lado
com uma carga de
em cada um dos quatro vértices. Pede-se o campo elétrico no ponto que está
acima do centro do quadrado (ou seja, sobre o eixo perpendicular ao plano do quadrado que passa pelo centro, a
de distância).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
O que precisamos encontrar: o vetor campo elétrico
naquele ponto (módulo e direção).
Passo 2
Relembrando a lei que vamos usar (aulas rápidas): o campo elétrico criado por uma carga pontual
no ponto onde a distância até a carga é
é dado por Coulomb:
onde
é a constante eletrostática (
),
é a distância entre carga e ponto, e
é o versor que aponta da carga para o ponto (campo aponta para fora se
).\n
Quando decompomos o campo em componentes, usamos trigonometria: se é o ângulo entre
e o eixo
, a componente
do campo é
Quando decompomos o campo em componentes, usamos trigonometria: se
porque
. Aqui
é a distância vertical (no nosso caso
).
Passo 3
Escolhemos um sistema de coordenadas conveniente: centro do quadrado em
, plano do quadrado no plano
, o ponto pedido em
. Metade do lado é
, então os vértices estão em
— peguei essas coordenadas dos vértices a partir do enunciado do quadrado de lado
.\n
A distância no plano do centro até um vértice (projeção em ) é
A distância no plano do centro até um vértice (projeção em
A distância do vértice até o ponto
é, portanto,
Observação: não tenho incerteza aqui — os valores das coordenadas e de
vinham do enunciado.
Passo 4
Simetria importante (isso simplifica muito): as quatro cargas são iguais e estão dispostas simetricamente ao redor do centro. As componentes horizontais (em
e
) dos campos gerados por todas as cargas se cancelam entre si, porque para cada vértice existe outro vértice simétrico que produz a componente horizontal oposta. Logo, só resta a componente no eixo
(vertical).\n
Campo produzido por uma única carga no ponto, em módulo:
Campo produzido por uma única carga no ponto, em módulo:
Componente vertical (usando
):
Passo 5
Somando a contribuição das quatro cargas (elas têm a mesma
e somam, pois todas contribuem para o mesmo sentido em
— para cargas positivas o campo aponta para cima no ponto acima do plano):
Podemos deixar em forma simbólica usando
. Note que
portanto a forma exata seria
Passo 6
Agora vamos calcular numericamente. Usando
e
, e
, temos:
E
Dividindo,
Arredondando para três algarismos significativos:
e a direção é para cima (sentido positivo do eixo
), porque as cargas são positivas.