Considere quatro cargas pontuais q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4} localizadas nos vértices de um quadrado nos pontos de coordenadas P_{1}(a, a, 0), P_{2}(-a, a, 0), P_{3}(-a,-a, 0), P_{4}(a,-a, 0), respectivamente. Determine uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto de coordenadas P(0, b, 0). Implemente um código para fazer um gráfico do comportamento campo elétrico no ponto P(0, b, 0), para -40 \leq b \leq +40 , para a=1,5,10,20.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto de coordenadas P(0,b,0) gerado por quatro cargas pontuais q_{1},q_{2},q_{3},q_{4} colocadas nos vértices do quadrado nos pontos
P_{1}(a,a,0),\; P_{2}(-a,a,0),\; P_{3}(-a,-a,0),\; P_{4}(a,-a,0).
  • Implementar um código que faça um gráfico do comportamento do campo elétrico no ponto P(0,b,0) variando b no intervalo -40\le b\le +40, para os valores a=1,5,10,20.
Informações dadas (lista clara e completa):
\begin{aligned} &\text{Posição de observação: } P(0,b,0).\\\ &\text{Posições das cargas: } \\\ &P_1=(a,a,0),\; P_2=(-a,a,0),\; P_3=(-a,-a,0),\; P_4=(a,-a,0).\\\ &\text{Cargas: } q_1,q_2,q_3,q_4 \text{ (valores gerais).}\\\ &\text{Queremos expressão algébrica de } \mathbf{E}(0,b,0) \text{ em função de } a,b,q_i \text{ e a constante } k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.\\\ &\text{Depois, gráfico numérico para } -40\le b\le 40 \text{ e } a\in\{1,5,10,20\}. \end{aligned}çãçãçõãéçãáé

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta, sem pressa):
  • A lei de Coulomb para o campo elétrico devido a uma carga pontual q localizada em \mathbf{r}', medida em \mathbf{r}, na forma vetorial, é
\mathbf{E}(\mathbf{r}) = k\, q\, \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{\lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3}},
onde:
  • k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática (pode ser mantida simbólica),
  • \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da carga até o ponto de observação,
  • \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert é a distância entre carga e ponto de observação,
  • a divisão por \lVert \mathbf{r}-\mathbf{r}'\rVert^{3} resulta num vetor unitário (direção) multiplicado por 1/\text{dist}^2, a dependência da intensidade do campo.
  • O campo total é somatório vetorial das contribuições de cada carga:
\mathbf{E}_{\text{total}}(\mathbf{r})=\sum_{i=1}^{4} \mathbf{E}_i(\mathbf{r}).
Explicando variáveis passo a passo:
  • \mathbf{r}=(0,b,0) é o ponto de observação.
  • Para cada carga q_i em \mathbf{r}_i calculamos o vetor deslocamento \mathbf{R}_i=\mathbf{r}-\mathbf{r}_i.
  • Depois calculamos \mathbf{E}_i = k q_i \dfrac{\mathbf{R}_i}{\lVert \mathbf{R}_i\rVert^{3}}.
  • Somamos as componentes x e y separadamente (como vetores em 2D no plano z=0).

Passo 3

Computar os vetores deslocamento \mathbf{R}_i=\mathbf{r}-\mathbf{r}_i e suas normas:
  • Para \mathbf{r}=(0,b,0) e \mathbf{r}_1=(a,a,0):
\mathbf{R}_1=(0-a,\; b-a,\; 0) = (-a,\; b-a,\; 0).
  • Para \mathbf{r}_2=(-a,a,0):
\mathbf{R}_2=(0-(-a),\; b-a,\;0) = (a,\; b-a,\;0).
  • Para \mathbf{r}_3=(-a,-a,0):
\mathbf{R}_3=(a,\; b+ a,\;0).
  • Para \mathbf{r}_4=(a,-a,0):
\mathbf{R}_4=(-a,\; b+ a,\;0).
Normas (distâncias) correspondentes:
  • Note que \lVert \mathbf{R}_1\rVert = \lVert \mathbf{R}_2\rVert. Chamamos
R_{-} \equiv \lVert \mathbf{R}_1\rVert = \sqrt{a^{2}+(b-a)^{2}}.
  • E também \lVert \mathbf{R}_3\rVert = \lVert \mathbf{R}_4\rVert. Chamamos
R_{+} \equiv \lVert \mathbf{R}_3\rVert = \sqrt{a^{2}+(b+a)^{2}}.

Passo 4

Calcular as contribuições de cada carga nas componentes x e y usando a fórmula de Coulomb (vou mostrar termo a termo e depois somar):
  • Para q_1 (em P_1):
\mathbf{E}_1 = k q_1 \frac{(-a,\; b-a,\;0)}{R_{-}^{3}}.
  • Para q_2 (em P_2):
\mathbf{E}_2 = k q_2 \frac{(a,\; b-a,\;0)}{R_{-}^{3}}.
  • Para q_3 (em P_3):
\mathbf{E}_3 = k q_3 \frac{(a,\; b+a,\;0)}{R_{+}^{3}}.
  • Para q_4 (em P_4):
\mathbf{E}_4 = k q_4 \frac{(-a,\; b+a,\;0)}{R_{+}^{3}}.
Agora somamos as componentes x e y separadamente (comentei cada passo para você poder replicar na prova):
  • Componente x:
\begin{aligned} E_x &= k\!\left[ -q_1\frac{a}{R_{-}^{3}} + q_2\frac{a}{R_{-}^{3}} + q_3\frac{a}{R_{+}^{3}} - q_4\frac{a}{R_{+}^{3}} \right]\\\ &= k a\left[ \frac{q_2-q_1}{R_{-}^{3}} + \frac{q_3-q_4}{R_{+}^{3}} \right]. \end{aligned}
Explicação: somei os termos em x; observei que \mathbf{R}_1 tem componente x=-a, \mathbf{R}_2 tem x=+a, etc., por isso aparecem sinais alternados.
  • Componente y:
\begin{aligned} E_y &= k\!\left[ q_1\frac{b-a}{R_{-}^{3}} + q_2\frac{b-a}{R_{-}^{3}} + q_3\frac{b+a}{R_{+}^{3}} + q_4\frac{b+a}{R_{+}^{3}} \right]\\\ &= k\left[ (q_1+q_2)\frac{b-a}{R_{-}^{3}} + (q_3+q_4)\frac{b+a}{R_{+}^{3}} \right]. \end{aligned}
Explicação: somei os termos em y; note como os fatores (b-a) e (b+a) aparecem naturalmente por posição vertical relativa às cargas.

Passo 5

Reescrevendo de forma compacta e bem pronta para usar na prova:
  • Definições auxiliares:
R_{-}=\sqrt{a^{2}+(b-a)^{2}},\qquad R_{+}=\sqrt{a^{2}+(b+a)^{2}}.
  • Componentes finais do campo elétrico em P(0,b,0):
\boxed{\,E_x = k a\left(\dfrac{q_2-q_1}{R_{-}^{3}} + \dfrac{q_3-q_4}{R_{+}^{3}}\right)\,}
\boxed{\,E_y = k\left((q_1+q_2)\dfrac{b-a}{R_{-}^{3}} + (q_3+q_4)\dfrac{b+a}{R_{+}^{3}}\right)\,}
e E_z=0. Então o campo vetorial é
\boxed{\,\mathbf{E}(0,b,0)=E_x\,\hat{\mathbf{i}} + E_y\,\hat{\mathbf{j}} \, }.
Comentário didático: essa forma é útil porque separa pares opostos do quadrado (cargas em linha horizontal têm mesma distância R_- ou R_+). Na prova, se as cargas forem simétricas (por exemplo todas iguais), essas expressões se simplificam muito: por exemplo, para q_1=q_2=q_3=q_4=q teremos E_x=0 por cancelamento e
E_y = k q\left[2\frac{b-a}{R_{-}^{3}} + 2\frac{b+a}{R_{+}^{3}}\right].
Sempre verifique simetrias — elas salvam tempo.

Passo 6

Preparando o gráfico: escolhas numéricas e justificativa (explico como fiz para que você possa reproduzir):
  • Para plotar a função do campo versus b precisamos fixar valores numéricos para as cargas e para k. O enunciado não fixa q_i, então para visualizar o comportamento vou escolher, por simplicidade e sem perda de generalidade qualitativa,
q_1=q_2=q_3=q_4=1\quad\text{(unidades arbitrárias, cargas iguais)}á
e também vou usar k=1 (unidade conveniente). Isso dá um gráfico ilustrativo do comportamento espacial; se você quiser resultados em SI, troque k por 8{,}98755179\times 10^{9} e as cargas por Coulombs.
  • Irei plotar o módulo \lVert \mathbf{E}\rVert = \sqrt{E_x^{2}+E_y^{2}} em função de b para -40\le b\le40, e farei curvas separadas para a=1,5,10,20. Também é fácil adaptar o código para mostrar as componentes E_x e E_y se quiser ver sinal e direção.

Passo 7

Código em Python (use NumPy + Matplotlib). Este código implementa as fórmulas acima com q_1=q_2=q_3=q_4=1 e k=1; ele plota o módulo \lVert \mathbf{E}\rVert versus b para os a pedidos. Cole e execute num Jupyter Notebook ou num script Python.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Parâmetros
k = 1.0  # constante (usar 8.9875517923e9 para SI)
q1 = q2 = q3 = q4 = 1.0  # cargas (unidades arbitrárias)

b_vals = np.linspace(-40, 40, 2000)  # intervalo de b
a_list = [1.0, 5.0, 10.0, 20.0]      # valores de a para plotar

plt.figure(figsize=(10,6))

for a in a_list:
    # calcular R_minus e R_plus como arrays (elemento a elemento)
    R_minus = np.sqrt(a**2 + (b_vals - a)**2)
    R_plus  = np.sqrt(a**2 + (b_vals + a)**2)

    # componentes E_x e E_y com q1=q2=q3=q4=1 e k=1
    Ex = k * a * ( (q2 - q1) / (R_minus**3) + (q3 - q4) / (R_plus**3) )
    Ey = k * ( (q1 + q2) * (b_vals - a) / (R_minus**3) + (q3 + q4) * (b_vals + a) / (R_plus**3) )

    E_mag = np.sqrt(Ex**2 + Ey**2)

    plt.plot(b_vals, E_mag, label=f'a = {a}')

plt.xlabel('b')
plt.ylabel('|E(0,b,0)| (unidades arbitrárias)')
plt.title('Módulo do campo elétrico em P(0,b,0) para diferentes valores de a\n(q1=q2=q3=q4=1, k=1)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.show()
Dicas de execução e interpretação:
  • Se quiser ver as componentes, substitua o plt.plot(b_vals, E_mag, ...) por plt.plot(b_vals, Ex, ...) e plt.plot(b_vals, Ey, ...).
  • Para unidades SI, defina k = 8.9875517923e9 e atribua valores a q_i em Coulombs; então os resultados estarão em N/C.
  • O gráfico mostra como a intensidade do campo no ponto sobre o eixo y (em x=0) varia quando você se afasta/chega ao quadrado (variando b). Comparando curvas de diferentes a você vê efeitos geométricos de tamanho do quadrado.

Resposta

\displaystyle E_x = k\,a\!\left(\dfrac{q_2-q_1}{\bigl(a^{2}+(b-a)^{2}\bigr)^{3/2}} + \dfrac{q_3-q_4}{\bigl(a^{2}+(b+a)^{2}\bigr)^{3/2}}\right)\n
\displaystyle E_y = k\!\left((q_1+q_2)\dfrac{b-a}{\bigl(a^{2}+(b-a)^{2}\bigr)^{3/2}} + (q_3+q_4)\dfrac{b+a}{\bigl(a^{2}+(b+a)^{2}\bigr)^{3/2}}\right)\n
Código Python para plotar o comportamento numérico fornecido no Passo 7 (usa q_1=q_2=q_3=q_4=1 e k=1).

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