Considere quatro cargas pontuais
localizadas nos vértices de um quadrado nos pontos de coordenadas
,
, respectivamente. Determine uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto de coordenadas
. Implemente um código para fazer um gráfico do comportamento campo elétrico no ponto
, para
+40 , para
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto de coordenadas
gerado por quatro cargas pontuais colocadas nos vértices do quadrado nos pontos
- Implementar um código que faça um gráfico do comportamento do campo elétrico no ponto
variando no intervalo , para os valores .
Informações dadas (lista clara e completa):
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (aula rápida e direta, sem pressa):
- A lei de Coulomb para o campo elétrico devido a uma carga pontual
localizada em , medida em , na forma vetorial, é
onde:
-
é a constante eletrostática (pode ser mantida simbólica), -
é o vetor que vai da carga até o ponto de observação, -
é a distância entre carga e ponto de observação, - a divisão por
resulta num vetor unitário (direção) multiplicado por , a dependência da intensidade do campo. - O campo total é somatório vetorial das contribuições de cada carga:
Explicando variáveis passo a passo:
-
é o ponto de observação. - Para cada carga
em calculamos o vetor deslocamento . - Depois calculamos
. - Somamos as componentes
e separadamente (como vetores em 2D no plano ).
Passo 3
Computar os vetores deslocamento
e suas normas:
- Para
e :
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Normas (distâncias) correspondentes:
- Note que
. Chamamos
- E também
. Chamamos
Passo 4
Calcular as contribuições de cada carga nas componentes
e
usando a fórmula de Coulomb (vou mostrar termo a termo e depois somar):
- Para
(em ):
- Para
(em ):
- Para
(em ):
- Para
(em ):
Agora somamos as componentes
e
separadamente (comentei cada passo para você poder replicar na prova):
- Componente
:
Explicação: somei os termos em
; observei que
tem componente
,
tem
, etc., por isso aparecem sinais alternados.
- Componente
:
Explicação: somei os termos em
; note como os fatores
e
aparecem naturalmente por posição vertical relativa às cargas.
Passo 5
Reescrevendo de forma compacta e bem pronta para usar na prova:
- Definições auxiliares:
- Componentes finais do campo elétrico em
:
e
. Então o campo vetorial é
Comentário didático: essa forma é útil porque separa pares opostos do quadrado (cargas em linha horizontal têm mesma distância
ou
). Na prova, se as cargas forem simétricas (por exemplo todas iguais), essas expressões se simplificam muito: por exemplo, para
teremos
por cancelamento e
Sempre verifique simetrias — elas salvam tempo.
Passo 6
Preparando o gráfico: escolhas numéricas e justificativa (explico como fiz para que você possa reproduzir):
- Para plotar a função do campo versus
precisamos fixar valores numéricos para as cargas e para . O enunciado não fixa , então para visualizar o comportamento vou escolher, por simplicidade e sem perda de generalidade qualitativa,
e também vou usar
(unidade conveniente). Isso dá um gráfico ilustrativo do comportamento espacial; se você quiser resultados em SI, troque
por
e as cargas por Coulombs.
- Irei plotar o módulo
em função de para , e farei curvas separadas para . Também é fácil adaptar o código para mostrar as componentes e se quiser ver sinal e direção.
Passo 7
Código em Python (use NumPy + Matplotlib). Este código implementa as fórmulas acima com
e
; ele plota o módulo
versus
para os
pedidos. Cole e execute num Jupyter Notebook ou num script Python.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Parâmetros
k = 1.0 # constante (usar 8.9875517923e9 para SI)
q1 = q2 = q3 = q4 = 1.0 # cargas (unidades arbitrárias)
b_vals = np.linspace(-40, 40, 2000) # intervalo de b
a_list = [1.0, 5.0, 10.0, 20.0] # valores de a para plotar
plt.figure(figsize=(10,6))
for a in a_list:
# calcular R_minus e R_plus como arrays (elemento a elemento)
R_minus = np.sqrt(a**2 + (b_vals - a)**2)
R_plus = np.sqrt(a**2 + (b_vals + a)**2)
# componentes E_x e E_y com q1=q2=q3=q4=1 e k=1
Ex = k * a * ( (q2 - q1) / (R_minus**3) + (q3 - q4) / (R_plus**3) )
Ey = k * ( (q1 + q2) * (b_vals - a) / (R_minus**3) + (q3 + q4) * (b_vals + a) / (R_plus**3) )
E_mag = np.sqrt(Ex**2 + Ey**2)
plt.plot(b_vals, E_mag, label=f'a = {a}')
plt.xlabel('b')
plt.ylabel('|E(0,b,0)| (unidades arbitrárias)')
plt.title('Módulo do campo elétrico em P(0,b,0) para diferentes valores de a\n(q1=q2=q3=q4=1, k=1)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
plt.show()
Dicas de execução e interpretação:
- Se quiser ver as componentes, substitua o
plt.plot(b_vals, E_mag, ...)porplt.plot(b_vals, Ex, ...)eplt.plot(b_vals, Ey, ...). - Para unidades SI, defina
k = 8.9875517923e9e atribua valores aq_iem Coulombs; então os resultados estarão em N/C. - O gráfico mostra como a intensidade do campo no ponto sobre o eixo
(em ) varia quando você se afasta/chega ao quadrado (variando ). Comparando curvas de diferentes você vê efeitos geométricos de tamanho do quadrado.
Resposta
Código Python para plotar o comportamento numérico fornecido no Passo 7 (usa