Considere cinco cargas pontuais q_{1}, q_{2}, q_{3}, q_{4}, q_{5} localizadas ao longo do eixo x , nos pontos de coordenadas P_{1}(-2 a, 0,0), P_{2}(-a, 0,0), P_{3}(0,0,0), P_{4}(a, 0,0), P_{5}(2 a, 0,0), respectivamente. Determine uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto de coordenadas P(0, b, 0). Implemente um código para fazer um gráfico do comportamento campo elétrico no ponto P(0, b, 0), para -40 \leq b \leq +40 , para a=1,5,10,20.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto P(0,b,0) criado por cinco cargas pontuais q_{1},q_{2},q_{3},q_{4},q_{5} localizadas em P_{1}(-2a,0,0),P_{2}(-a,0,0),P_{3}(0,0,0),P_{4}(a,0,0),P_{5}(2a,0,0). Em seguida, implementar um código que faça um gráfico do comportamento do campo elétrico em P(0,b,0) para -40\le b\le +40 e para a=1,5,10,20.
Informações dadas e pontos importantes (listadas):
  • As posições das cargas são \,x_1=-2a,\;x_2=-a,\;x_3=0,\;x_4=a,\;x_5=2a.\n
  • O ponto onde queremos o campo é P(0,b,0), com b variando no intervalo pedido.\n
  • As cargas são puntiformes q_1,q_2,q_3,q_4,q_5 (valores não especificados — manterei expressão geral em função delas).\n
  • Constante eletrostática: usarei k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} nas fórmulas.\n
  • Observação importante: se b=0 e existir carga no ponto P_3 (ou uma carga exatamente sobre o ponto de observação), o campo diverge (infinitude) — o código terá que tratar/ignorar esse ponto singular.

Passo 2

Qual método vamos usar e por quê:
  • O método básico é somar vetorialmente as contribuições de cada carga usando a Lei de Coulomb (método direto, elementar e suficiente para a prova). Não há instrução diferente no enunciado, e essa é a abordagem mais direta e ensinada primeiro.
  • A Lei de Coulomb vetorial para uma carga pontual q localizada em \mathbf{r}' dá, no ponto \mathbf{r},
\mathbf{E}(\mathbf{r})=k\,q\,\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3}}.
Vou aplicar essa fórmula para cada carga e somar as contribuições (princípio da superposição).

Passo 3

Aprendendo a fórmula usada (aula curta e prática):
  • A expressão \mathbf{r}-\mathbf{r}' é o vetor que vai da posição da carga (fonte) até o ponto onde calculamos o campo. Ele dá a direção da força elétrica sobre uma carga de teste positiva.
  • O denominador |\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^{3} aparece porque o campo de uma carga pontual tem intensidade proporcional a 1/r^{2} e o fator vetorial normalizado divide por r a mais para produzir um vetor unitário; juntos dá 1/r^{3} multiplicando o vetor deslocamento.
  • Na prática, para cargas em posições sobre o eixo x e o campo avaliado em P(0,b,0), as componentes em x e y surgem naturalmente ao escrever este vetor deslocamento.

Passo 4

Calcular o vetor deslocamento e os módulos para cada carga:
  • Ponto de observação: \mathbf{r}=(0,b,0).
  • Para a carga q_i na posição \mathbf{r}_i=(x_i,0,0) temos o vetor deslocamento
\mathbf{r}-\mathbf{r}_i = (0-x_i,\,b-0,\,0) = (-x_i,\,b,\,0).
  • O módulo ao quadrado é x_i^{2}+b^{2}. Portanto |\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|=(x_i^{2}+b^{2})^{1/2} e
|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i|^{3}=(x_i^{2}+b^{2})^{3/2}.
  • Para nossos pontos: \,x_1=-2a,\;x_2=-a,\;x_3=0,\;x_4=a,\;x_5=2a.

Passo 5

Escrever a contribuição de cada carga usando Coulomb (componentes):
Para i=1,\dots,5,
\mathbf{E}_i = k\,q_i\,\frac{(-x_i)\,\hat{\mathbf{x}} + b\,\hat{\mathbf{y}}}{(x_i^{2}+b^{2})^{3/2}}.
Escrevendo explicitamente cada termo (mostro os denominadores correspondentes):
  • x_1=-2a\Rightarrow x_1^{2}=4a^{2}, então
\mathbf{E}_1 = k\,q_1\,\frac{(2a)\,\hat{\mathbf{x}} + b\,\hat{\mathbf{y}}}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}.
  • x_2=-a\Rightarrow x_2^{2}=a^{2}, então
\mathbf{E}_2 = k\,q_2\,\frac{(a)\,\hat{\mathbf{x}} + b\,\hat{\mathbf{y}}}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}.
  • x_3=0\Rightarrow
\mathbf{E}_3 = k\,q_3\,\frac{0\cdot\hat{\mathbf{x}} + b\,\hat{\mathbf{y}}}{|b|^{3}} = k\,q_3\,\frac{b\,\hat{\mathbf{y}}}{|b|^{3}}.
  • x_4=a\Rightarrow
\mathbf{E}_4 = k\,q_4\,\frac{(-a)\,\hat{\mathbf{x}} + b\,\hat{\mathbf{y}}}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}.
  • x_5=2a\Rightarrow
\mathbf{E}_5 = k\,q_5\,\frac{(-2a)\,\hat{\mathbf{x}} + b\,\hat{\mathbf{y}}}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}.

Passo 6

Somar vetorialmente para obter o campo total e organizar componentes:
  • A componente x do campo total é a soma das componentes x dos \mathbf{E}_i:
E_x = k\left(\frac{2a\,q_1}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{a\,q_2}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}-\frac{a\,q_4}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}-\frac{2a\,q_5}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}\right).
Podemos fatorar termos simétricos:
E_x = k\left(\frac{2a}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}(q_1-q_5)+\frac{a}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}(q_2-q_4)\right).
  • A componente y do campo total é a soma das componentes y:
E_y = k\,b\left(\frac{q_1}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{q_2}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{q_3}{|b|^{3}}+\frac{q_4}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{q_5}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}\right).
Ou agrupando termos simétricos:
E_y = k\,b\left(\frac{q_1+q_5}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{q_2+q_4}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{q_3}{|b|^{3}}\right).
Portanto o campo vetorial é
\mathbf{E}(0,b,0)=E_x\,\hat{\mathbf{x}}+E_y\,\hat{\mathbf{y}},
com E_x e E_y dados acima.

Passo 7

Observações físicas e casos especiais (como estudar para a prova):
  • Se as cargas forem simétricas, por exemplo q_1=q_5 e q_2=q_4, então E_x=0: as componentes x se cancelam por simetria, sobrando apenas E_y (esperado, pois o ponto está no eixo y acima do centro).
  • Se todas as cargas forem iguais q_i=q, então a expressão simplifica bastante:
E_x=0,\qquad E_y = k\,q\,b\left(\frac{2}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{2}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{1}{|b|^{3}}\right).
  • Atenção ao caso b=0: termos com denominador |b|^{3} tornam-se singulares se q_3\neq 0. No gráfico numérico devemos evitar exatamente b=0 ou tratar a singularidade.

Passo 8

Implementação do código para plotar (explicação breve do que o código fará):
  • Vou fornecer um código Python que calcula o campo no ponto P(0,b,0) para uma malha de valores de b\in[-40,40] e para cada valor de a\in\{1,5,10,20\}. O código calcula a magnitude |\mathbf{E}| (ou as componentes, se preferir) assumindo cargas de teste. Para visualização simples, tomo k=1 e q_1=\dots=q_5=1 (unidades normalizadas) — isso mostra o comportamento qualitativo; para valores em unidades SI basta colocar k=1/(4\pi\varepsilon_0) e as cargas em coulombs.
  • O código evita b=0 (remove ou desloca um pouco o ponto) para não tentar dividir por zero.

Passo 9

Código Python (salve como um script .py ou rode em um Jupyter notebook). O código gera um gráfico de |\mathbf{E}| versus b para cada a. Comentários explicam as escolhas.
# Código Python para plotar o comportamento do campo elétrico em P(0,b,0)
# Será necessária a instalação de numpy e matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def E_components(b_vals, a, q_list, k=1.0):
    # q_list = [q1,q2,q3,q4,q5]
    q1,q2,q3,q4,q5 = q_list
    # pré-calcula denominadores
    denom_4 = (4*a*a + b_vals**2)**1.5  # para x = +/- 2a
    denom_1 = (a*a + b_vals**2)**1.5    # para x = +/- a
    denom_0 = np.abs(b_vals)**3         # para x = 0 (cuidado b=0)
    # componentes x
    Ex = k*( (2*a*q1)/denom_4 + (a*q2)/denom_1 - (a*q4)/denom_1 - (2*a*q5)/denom_4 )
    # componente y
    Ey = k*b_vals*( (q1+q5)/denom_4 + (q2+q4)/denom_1 + q3/denom_0 )
    return Ex, Ey

# parâmetros do gráfico
b_vals = np.linspace(-40.0, 40.0, 4001)
# evitar exatamente b=0 para não dividir por zero; pequenas perturbações mantêm o gráfico estável
eps = 1e-6
b_vals[np.abs(b_vals) < eps] = eps

# usamos cargas unitárias e k=1 para visualizar comportamento qualitativo
q_list = [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
a_values = [1.0, 5.0, 10.0, 20.0]

plt.figure(figsize=(10,6))
for a in a_values:
    Ex, Ey = E_components(b_vals, a, q_list, k=1.0)
    E_mag = np.sqrt(Ex**2 + Ey**2)
    plt.plot(b_vals, E_mag, label=f'a={a}')

plt.yscale('log')  # escala log para visualizar a singularidade em b≈0 e as curvas simultaneamente
plt.xlabel('b (unidades arbitrárias)')
plt.ylabel('|E(0,b,0)| (unidades normalizadas)')
plt.title('Módulo do campo elétrico em P(0,b,0) para diferentes valores de a\n(cargas unitárias, k=1)')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.ylim(1e-6, 1e6)  # limites adequados para escala log (ajuste se necessário)
plt.show()
Observações sobre o código:
  • Usei escala logarítmica no eixo y para enxergar melhor a forte variação próxima de b=0 e ao mesmo tempo os valores maiores de |b|.
  • Para plot linear (sem log) remova a linha plt.yscale('log') e ajuste plt.ylim(...) conforme necessário.
  • Para usar constantes SI, atribua k = 1/(4*np.pi*epsilon0) com epsilon0 = 8.854187817e-12 e troque q_list pelos valores em coulombs.

Resposta

\mathbf{E}(0,b,0)=k\left(\frac{2a}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}(q_{1}-q_{5})+\frac{a}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}(q_{2}-q_{4})\right)\hat{\mathbf{x}} \;+\;k\,b\left(\frac{q_{1}+q_{5}}{(4a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{q_{2}+q_{4}}{(a^{2}+b^{2})^{3/2}}+\frac{q_{3}}{|b|^{3}}\right)\hat{\mathbf{y}}
Código Python para gerar os gráficos fornecido no Passo 9 (usar q1=…=q5=1 e k=1 para visualização qualitativa; ajustar para SI se desejar).

Exercícios relacionados