Considere cinco cargas pontuais
localizadas ao longo do eixo x , nos pontos de coordenadas
,
, respectivamente. Determine uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto de coordenadas
. Implemente um código para fazer um gráfico do comportamento campo elétrico no ponto
, para
+40 , para
.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar uma expressão algébrica para o campo elétrico no ponto
criado por cinco cargas pontuais
localizadas em
. Em seguida, implementar um código que faça um gráfico do comportamento do campo elétrico em
para
e para
.
Informações dadas e pontos importantes (listadas):
- As posições das cargas são
.\n - O ponto onde queremos o campo é
, com variando no intervalo pedido.\n - As cargas são puntiformes
(valores não especificados — manterei expressão geral em função delas).\n - Constante eletrostática: usarei
nas fórmulas.\n - Observação importante: se
e existir carga no ponto (ou uma carga exatamente sobre o ponto de observação), o campo diverge (infinitude) — o código terá que tratar/ignorar esse ponto singular.
Passo 2
Qual método vamos usar e por quê:
- O método básico é somar vetorialmente as contribuições de cada carga usando a Lei de Coulomb (método direto, elementar e suficiente para a prova). Não há instrução diferente no enunciado, e essa é a abordagem mais direta e ensinada primeiro.
- A Lei de Coulomb vetorial para uma carga pontual
localizada em dá, no ponto ,
Vou aplicar essa fórmula para cada carga e somar as contribuições (princípio da superposição).
Passo 3
Aprendendo a fórmula usada (aula curta e prática):
- A expressão
é o vetor que vai da posição da carga (fonte) até o ponto onde calculamos o campo. Ele dá a direção da força elétrica sobre uma carga de teste positiva. - O denominador
aparece porque o campo de uma carga pontual tem intensidade proporcional a e o fator vetorial normalizado divide por a mais para produzir um vetor unitário; juntos dá multiplicando o vetor deslocamento. - Na prática, para cargas em posições sobre o eixo
e o campo avaliado em , as componentes em e surgem naturalmente ao escrever este vetor deslocamento.
Passo 4
Calcular o vetor deslocamento e os módulos para cada carga:
- Ponto de observação:
. - Para a carga
na posição temos o vetor deslocamento
- O módulo ao quadrado é
. Portanto e
- Para nossos pontos:
Passo 5
Escrever a contribuição de cada carga usando Coulomb (componentes):
Para ,
Para
Escrevendo explicitamente cada termo (mostro os denominadores correspondentes):
-
, então
-
, então
Passo 6
Somar vetorialmente para obter o campo total e organizar componentes:
- A componente
do campo total é a soma das componentes dos :
Podemos fatorar termos simétricos:
- A componente
do campo total é a soma das componentes :
Ou agrupando termos simétricos:
Portanto o campo vetorial é
com
e
dados acima.
Passo 7
Observações físicas e casos especiais (como estudar para a prova):
- Se as cargas forem simétricas, por exemplo
e , então : as componentes se cancelam por simetria, sobrando apenas (esperado, pois o ponto está no eixo acima do centro). - Se todas as cargas forem iguais
, então a expressão simplifica bastante:
- Atenção ao caso
: termos com denominador tornam-se singulares se . No gráfico numérico devemos evitar exatamente ou tratar a singularidade.
Passo 8
Implementação do código para plotar (explicação breve do que o código fará):
- Vou fornecer um código Python que calcula o campo no ponto
para uma malha de valores de e para cada valor de . O código calcula a magnitude (ou as componentes, se preferir) assumindo cargas de teste. Para visualização simples, tomo e (unidades normalizadas) — isso mostra o comportamento qualitativo; para valores em unidades SI basta colocar e as cargas em coulombs. - O código evita
(remove ou desloca um pouco o ponto) para não tentar dividir por zero.
Passo 9
Código Python (salve como um script .py ou rode em um Jupyter notebook). O código gera um gráfico de
versus
para cada
. Comentários explicam as escolhas.
# Código Python para plotar o comportamento do campo elétrico em P(0,b,0)
# Será necessária a instalação de numpy e matplotlib.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def E_components(b_vals, a, q_list, k=1.0):
# q_list = [q1,q2,q3,q4,q5]
q1,q2,q3,q4,q5 = q_list
# pré-calcula denominadores
denom_4 = (4*a*a + b_vals**2)**1.5 # para x = +/- 2a
denom_1 = (a*a + b_vals**2)**1.5 # para x = +/- a
denom_0 = np.abs(b_vals)**3 # para x = 0 (cuidado b=0)
# componentes x
Ex = k*( (2*a*q1)/denom_4 + (a*q2)/denom_1 - (a*q4)/denom_1 - (2*a*q5)/denom_4 )
# componente y
Ey = k*b_vals*( (q1+q5)/denom_4 + (q2+q4)/denom_1 + q3/denom_0 )
return Ex, Ey
# parâmetros do gráfico
b_vals = np.linspace(-40.0, 40.0, 4001)
# evitar exatamente b=0 para não dividir por zero; pequenas perturbações mantêm o gráfico estável
eps = 1e-6
b_vals[np.abs(b_vals) < eps] = eps
# usamos cargas unitárias e k=1 para visualizar comportamento qualitativo
q_list = [1.0, 1.0, 1.0, 1.0, 1.0]
a_values = [1.0, 5.0, 10.0, 20.0]
plt.figure(figsize=(10,6))
for a in a_values:
Ex, Ey = E_components(b_vals, a, q_list, k=1.0)
E_mag = np.sqrt(Ex**2 + Ey**2)
plt.plot(b_vals, E_mag, label=f'a={a}')
plt.yscale('log') # escala log para visualizar a singularidade em b≈0 e as curvas simultaneamente
plt.xlabel('b (unidades arbitrárias)')
plt.ylabel('|E(0,b,0)| (unidades normalizadas)')
plt.title('Módulo do campo elétrico em P(0,b,0) para diferentes valores de a\n(cargas unitárias, k=1)')
plt.legend()
plt.grid(True, which='both', ls='--', lw=0.5)
plt.ylim(1e-6, 1e6) # limites adequados para escala log (ajuste se necessário)
plt.show()
Observações sobre o código:
- Usei escala logarítmica no eixo
para enxergar melhor a forte variação próxima de e ao mesmo tempo os valores maiores de . - Para plot linear (sem log) remova a linha
plt.yscale('log')e ajusteplt.ylim(...)conforme necessário. - Para usar constantes SI, atribua
k = 1/(4*np.pi*epsilon0)comepsilon0 = 8.854187817e-12e troqueq_listpelos valores em coulombs.
Resposta
Código Python para gerar os gráficos fornecido no Passo 9 (usar q1=…=q5=1 e k=1 para visualização qualitativa; ajustar para SI se desejar).