Uma quádrica S é dada por -4 z^2+x^2-y^2-2 x-2 y-4=0 e uma curva C é dada pela interseção de com o plano y+z=2. Podemos concluir que S e C são respectivamente:
Um hiperboloide de duas folhas e uma hipérbole
Um hiperboloide de uma folha e uma hipérbole
Um hiperboloide de uma folha e uma parábola

Passo 1

Vamos lá! Temos uma quádrica definida pela equação -4 z^2 + x^2 - y^2 - 2x - 2y - 4 = 0 e uma curva C que é a interseção dessa quádrica com o plano y + z = 2. Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície é a quádrica S e que tipo de curva é C. Para isso, vamos precisar entender os diferentes tipos de quadricas e como elas se comportam quando intersectadas por planos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da quádrica S para identificar seu tipo. A equação é:
-4 z^2 + x^2 - y^2 - 2x - 2y - 4 = 0
Vamos reorganizar os termos para completar os quadrados em x e y:
x^2 - 2x - y^2 - 2y - 4 - 4 z^2 = 0
Completando os quadrados:
Para x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Para y:
-y^2 - 2y = -[(y + 1)^2 - 1] = - (y + 1)^2 + 1
Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 - (y + 1)^2 + 1 - 4 z^2 - 4 = 0
Simplificando:
(x - 1)^2 - (y + 1)^2 - 4 z^2 - 4 = 0
Ou:
(x - 1)^2 - (y + 1)^2 - 4 z^2 = 4
Dividindo ambos os lados por 4 para facilitar a análise:
(x - 1)^24 - (y + 1)^24 - z^2 = 1

Passo 3

Agora, vamos identificar o tipo de quádrica. A equação está na forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 - (z - l)^2c^2 = 1
Isso representa um hiperboloide de uma folha se houver somente um termo positivo e dois negativos (ou vice-versa). No nosso caso, temos um termo positivo ( x) e dois negativos ( y e z), confirmando que S é um hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a curva C que é a interseção da superfície S com o plano y + z = 2. Para isso, substituiremos z por 2 - y na equação da superfície.
Substituindo z = 2 - y na equação original:
-4 (2 - y)^2 + x^2 - y^2 - 2x - 2y - 4 = 0
Vamos expandir e simplificar:
-4 (4 - 4y + y^2) + x^2 - y^2 - 2x - 2y - 4 = 0
Distribuindo o -4:
-16 + 16y - 4y^2 + x^2 - y^2 - 2x - 2y - 4 = 0
Agrupando termos semelhantes:
x^2 - 4y^2 - y^2 - 2x + 16y - 2y - 16 - 4 = 0
Simplificando:
x^2 - 5y^2 - 2x + 14y - 20 = 0

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para identificar o tipo de curva:
x^2 - 2x - 5y^2 + 14y - 20 = 0
Completando os quadrados para x e y:
Para x:
x^2 - 2x = (x - 1)^2 - 1
Para y:
-5y^2 + 14y = -5(y^2 - 145y) = -5[(y - 75)^2 - 4925] = -5(y - 75)^2 + 495
Substituindo de volta na equação:
(x - 1)^2 - 1 - 5(y - 75)^2 + 495 - 20 = 0
Simplificando os termos constantes:
(x - 1)^2 - 5(y - 75)^2 + (-1 + 495 - 20) = 0
Calculando os números:
-1 + 495 - 20 = -1 + 9.8 - 20 = -11.2
Então:
(x - 1)^2 - 5(y - 75)^2 = 11.2
Dividindo ambos os lados por 11.2:
(x - 1)^211.2 - (y - 75)^22.24 = 1

Passo 6

A equação resultante da interseção tem a forma:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Isso representa uma hipérbole. Portanto, a curva C é uma hipérbole.

Resposta

Hiperboloide de uma folha e uma hipérbole.

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