Uma quádrica
é dada por
e uma curva
é dada pela interseção de com o plano
. Podemos concluir que
e
são respectivamente:
Um hiperboloide de duas folhas e uma hipérbole
Um hiperboloide de uma folha e uma hipérbole
Um hiperboloide de uma folha e uma parábola
Um hiperboloide de duas folhas e uma hipérbole
Um hiperboloide de uma folha e uma hipérbole
Um hiperboloide de uma folha e uma parábola
Passo 1
Vamos lá! Temos uma quádrica definida pela equação
e uma curva
que é a interseção dessa quádrica com o plano
. Nosso objetivo é identificar que tipo de superfície é a quádrica
e que tipo de curva é
. Para isso, vamos precisar entender os diferentes tipos de quadricas e como elas se comportam quando intersectadas por planos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da quádrica
para identificar seu tipo. A equação é:
Vamos reorganizar os termos para completar os quadrados em
e
:
Completando os quadrados:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Ou:
Dividindo ambos os lados por 4 para facilitar a análise:
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo de quádrica. A equação está na forma:
Isso representa um hiperboloide de uma folha se houver somente um termo positivo e dois negativos (ou vice-versa). No nosso caso, temos um termo positivo (
) e dois negativos (
e
), confirmando que
é um hiperboloide de uma folha.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a curva
que é a interseção da superfície
com o plano
. Para isso, substituiremos
por
na equação da superfície.
Substituindo
na equação original:
Vamos expandir e simplificar:
Distribuindo o -4:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para identificar o tipo de curva:
Completando os quadrados para
e
:
Para
:
Para
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando os termos constantes:
Calculando os números:
Então:
Dividindo ambos os lados por 11.2:
Passo 6
A equação resultante da interseção tem a forma:
Isso representa uma hipérbole. Portanto, a curva
é uma hipérbole.
Resposta
Hiperboloide de uma folha e uma hipérbole.