(Teorema de Pitágoras) Sejam V um espaço com produto interno e vetores u1, ldots, un in V. Mostre que se ui perp uj, quando i neq j, então
|u1+ldots+un|^2=|u1|^2+ldots+|un|^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Teorema de Pitágoras aplicado a espaços com produto interno. A gente tem vários vetores que são todos perpendiculares entre si, ou seja, para . Queremos mostrar que a norma do somatório desses vetores ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado de cada vetor individualmente. Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno, norma de um vetor e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor |v| = raizlang<= v, v rang<= em um espaço com produto interno é dada por:
|v|^2 = lang<= v, v rang<=
Onde é o produto interno de consigo mesmo. Então, a norma ao quadrado é:

Passo 3

Agora, vamos considerar o somatório dos vetores |u1 + u2 + ldots + un|^2 = lang<= u1 + u2 + ldots + un, u1 + u2 + ldots + un rang<= . Queremos calcular a norma desse somatório ao quadrado:

Passo 4

Vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva:
lang<= u1 + u2 + ldots + un, u1 + u2 + ldots + un rang<= = sumi=1^n sumj=1^n lang<= ui, uj rang<=
Ou seja, estamos somando todos os produtos internos possíveis entre os vetores.

Passo 5

Mas, como os vetores são todos perpendiculares entre si quando lang<= ui, uj rang<= = 0 para i neq j , isso significa que:
Portanto, na soma dupla, todos os termos onde serão zero.

Passo 6

Assim, a soma dupla simplifica para:
sumi=1^n sumj=1^n lang<= ui, uj rang<= = sumi=1^n lang<= ui, ui rang<=
Ou seja, somente os termos onde permanecem na soma.

Passo 7

Lembrando que sumi=1^n lang<= ui, ui rang<= = sumi=1^n |ui|^2 , temos:

Resposta

Portanto, mostramos que:
|u1+ldots+un|^2 = |u1|^2 + ldots + |un|^2

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