(Teorema de Pitágoras) Sejam
um espaço com produto interno e vetores
. Mostre que se
, quando
, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o Teorema de Pitágoras aplicado a espaços com produto interno. A gente tem vários vetores
que são todos perpendiculares entre si, ou seja,
para
. Queremos mostrar que a norma do somatório desses vetores ao quadrado é igual à soma das normas ao quadrado de cada vetor individualmente. Para isso, vamos precisar entender o que é produto interno, norma de um vetor e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a norma de um vetor. A norma de um vetor
em um espaço com produto interno é dada por:
Onde
é o produto interno de
consigo mesmo. Então, a norma ao quadrado é:
Passo 3
Agora, vamos considerar o somatório dos vetores
. Queremos calcular a norma desse somatório ao quadrado:
Passo 4
Vamos expandir esse produto interno usando a propriedade distributiva:
Ou seja, estamos somando todos os produtos internos possíveis entre os vetores.
Passo 5
Mas, como os vetores são todos perpendiculares entre si quando
, isso significa que:
Portanto, na soma dupla, todos os termos onde
serão zero.
Passo 6
Assim, a soma dupla simplifica para:
Ou seja, somente os termos onde
permanecem na soma.
Passo 7
Lembrando que
, temos:
Resposta
Portanto, mostramos que: