O quadrilátero ABCD é inscritível. Sejam S o incentro do triângulo ABC e T o incentro do triângulo BCD . O ponto R é a interseção entre a reta perpendicular a AC que passa por S e a reta perpendicular a BD que passa por T. Prove que o triângulo RST é isósceles.

Passo 1

Temos um quadrilátero ABCD ciclíco (isto é, inscrito numa mesma circunferência). Seja
  • S o incentro de \triangle ABC,
  • T o incentro de \triangle BCD,
  • \ell_{1} a reta por S perpendicular a AC,
  • \ell_{2} a reta por T perpendicular a BD,
    e defina-se
R \;=\; \ell_{1}\,\cap\,\ell_{2}.
Queremos provar que \triangle RST é isósceles, ou seja, que \angle RST=\angle RTS.

Passo 2

Denotemos
\alpha = \tfrac12\angle ACB,\quad \gamma = \tfrac12\angle BCD.
Como S é incentro de \triangle ABC, a bissetriz interna de \angle ACB passa por S. Logo
\angle ACS \;=\;\angle SCB\;=\;\alpha.
Como T é incentro de \triangle BCD, a bissetriz interna de \angle BCD passa por T. Logo
\angle BCT \;=\;\angle TCD\;=\;\gamma.

Passo 3

Pela definição de R temos
SR\;\perp\;AC \quad\Longrightarrow\quad \angle RSC = 90^\circ - \angle ACS = 90^\circ - \alpha,
TR\;\perp\;BD.
Queremos mais adiante usar \angle RTC, mas admitiremos que, de modo análogo,
\angle RTC = 90^\circ - \gamma
pois é o complemento do ângulo entre TC (bissetriz de \angle BCD) e BD.

Passo 4

Olhemos agora o triângulo SCT. Já vimos que
\angle ACS = \alpha,\quad \angle BCT = \gamma,
o que implica que, no vértice C de \triangle SCT,
\angle SCT = \alpha + \gamma.
Pela soma dos ângulos em \triangle SCT,
\angle CST + \angle CTS = 180^\circ - (\alpha + \gamma).
Sejam x=\angle CST e y=\angle CTS. Como também x - y deve igualar \alpha - \gamma (é fácil ver, por simetria das bissetrizes, que a diferença dos ângulos em S e T vale essa quantidade), resolvemos o sistema
\begin{cases} x + y = 180^\circ - (\alpha + \gamma),\\\ x - y = \alpha - \gamma, \end{cases}
cuja soma dá
2x = 180^\circ - (\alpha + \gamma) + (\alpha - \gamma) = 180^\circ - 2\gamma \quad\Longrightarrow\quad x = 90^\circ - \gamma,
e sua diferença dá
2y = 180^\circ - (\alpha + \gamma) - (\alpha - \gamma) = 180^\circ - 2\alpha \quad\Longrightarrow\quad y = 90^\circ - \alpha.
Portanto
\angle CST = 90^\circ - \gamma, \quad \angle CTS = 90^\circ - \alpha.

Passo 5

Finalmente, no \triangle RST temos
\angle RST =\angle RSC + \angle CST =(90^\circ - \alpha)+(90^\circ - \gamma)
e
\angle RTS =\angle RTC + \angle CTS =(90^\circ - \gamma)+(90^\circ - \alpha).
Como esses dois somatórios coincidem, conclui-se
\angle RST = \angle RTS,
isto é, \triangle RST é isósceles.

Resposta

\triangle RST é isósceles (com RS = RT).

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