O quadrilátero ABCD é inscritível. Sejam S o incentro do triângulo ABC e T o incentro do triângulo BCD . O ponto R é a interseção entre a reta perpendicular a AC que passa por S e a reta perpendicular a BD que passa por T. Prove que o triângulo RST é isósceles.
Passo 1
Temos um quadrilátero
ciclíco (isto é, inscrito numa mesma circunferência). Seja
-
o incentro de , -
o incentro de , -
a reta por perpendicular a , -
a reta por perpendicular a ,
e defina-se
Queremos provar que
é isósceles, ou seja, que
.
Passo 2
Denotemos
Como
é incentro de
, a bissetriz interna de
passa por
. Logo
Como
é incentro de
, a bissetriz interna de
passa por
. Logo
Passo 3
Pela definição de
temos
Queremos mais adiante usar
, mas admitiremos que, de modo análogo,
pois é o complemento do ângulo entre
(bissetriz de
) e
.
Passo 4
Olhemos agora o triângulo
. Já vimos que
o que implica que, no vértice
de
,
Pela soma dos ângulos em
,
Sejam
e
. Como também
deve igualar
(é fácil ver, por simetria das bissetrizes, que a diferença dos ângulos em
e
vale essa quantidade), resolvemos o sistema
cuja soma dá
e sua diferença dá
Portanto
Passo 5
Finalmente, no
temos
e
Como esses dois somatórios coincidem, conclui-se
isto é,
é isósceles.