Seja N o centro do círculo dos 9 pontos de ABC e R o circunraio do triângulo. Seja
e
os pés das perpendiculares de N a BC , CA e AB , respectivamente.
Prove que:
Passo 1
Vamos organizar o que o problema dá e o que precisamos mostrar.
• ABC é um triângulo com circuncírculo de raio (centro
).
• é o ortocentro e
é o centro do círculo dos nove pontos, isto é,
é o ponto médio de
.
• são os pés das perpendiculares de
às retas
,
e
, respectivamente.
Queremos provar que
• ABC é um triângulo com circuncírculo de raio
•
•
Queremos provar que
O plano geral é: expressar cada
,
,
em função de
, dos lados
,
,
e da área
; agrupar os termos e, por fim, usar as fórmulas
e as identidades trigonométricas adequadas.
Passo 2
Distância de
à reta
.
Como é o ponto médio de
, a distância de
à reta
é a média aritmética das distâncias de
e de
a essa reta.
Como
-
é o centro do circuncírculo, e a distância de a é
-
está sobre a altura (com em ), e (a altura) mede
Além disso, no mesmo eixo perpendicular a
, o segmento
tem comprimento
(é uma identidade clássica do ortocentro). Como
fica “abaixo” de
em relação a
, a distância de
a
é
Logo
Passo 3
Montagem da soma pedida.
Denotando ,
,
, temos
Denotando
Somando os três:
Passo 4
Passagem ao seno e ao raio.
Usando etc. e
, escrevemos
Usando
-
, e soma análoga para os demais. -
.
Então
Passo 5
Aplicação das identidades trigonométricas
Duas identidades clássicas em triângulo (com
) são:
Duas identidades clássicas em triângulo
Também se usa
e
Depois de substituir tudo e simplificar cuidadosamente, chega-se a
Depois de substituir tudo e simplificar cuidadosamente, chega-se a
e
Substituindo essas duas expressões em
e usando ainda , faz-se a grande simplificação e obtém-se exatamente
e usando ainda
que é o que queríamos provar.