1. Para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesmo tamanho, vale A^{2}-B^{2}=(A- B)(A+B).

Passo 1

O enunciado pergunta se, para quaisquer matrizes quadradas A e B de mesma dimensão, vale sempre a identidade
A^{2} - B^{2} = (A - B)(A + B).
O conteúdo envolvido é a multiplicação de matrizes e o fato de que, em geral, matrizes não comutam.

Passo 2

Vamos expandir o produto à direita. Usando a distributividade de matrizes,
(A - B)(A + B) = A\cdot A \;+\; A\cdot B \;-\; B\cdot A \;-\; B\cdot B = A^{2} \;+\; AB \;-\; BA \;-\; B^{2}.

Passo 3

Comparando com o lado esquerdo A^{2}-B^{2}, vemos que aparece o termo extra AB - BA. Logo, para que
A^{2} - B^{2} \;=\; A^{2} + AB - BA - B^{2}
seja verdade, é necessário e suficiente que
AB - BA = 0,
ou seja, que AB = BA.

Passo 4

Em geral AB \neq BA, então a identidade não vale para todas as matrizes. Por exemplo, seja
A = \begin{pmatrix}0 & 1\\[6pt]0 & 0\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}0 & 0\\[6pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Então
A^{2} = 0,\quad B^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad A^{2}-B^{2}=0,
mas
AB = \begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&0\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}0&0\\[3pt]0&1\end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad ( A - B )( A + B ) = A^{2}+AB-BA-B^{2} = \begin{pmatrix}1&0\\[3pt]0&-1\end{pmatrix}\neq 0.]

Resposta

A igualdade A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B) não vale em geral; ela vale somente se A e B comutam, ou seja, se AB=BA.

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