7 Qualquer substância que não seja condutora é chamada dielétrico. Nos dielétricos não existem elétrons livres de condução; todos eles estão ligados aos átomos ou às moléculas do dielétrico. Outra constante caraterística dos dielétricos é a constante dielétrica. Ao introduzir-se um dielétrico
entre as armaduras de um capacitor, a capacitância aumenta ou diminuiu. Apresente dois exemplos, com os devidos cálculos e justificativas.

Passo 1

O enunciado pergunta se, ao introduzir-se um dielétrico entre as armaduras de um capacitor, a capacitância aumenta ou diminui, e pede que eu apresente dois exemplos com cálculos e justificativas. Informações relevantes dadas ou implicadas:
  • Um dielétrico é uma substância não condutora; seus elétrons não são livres para conduzir, mas o material pode polarizar-se.
  • Cada dielétrico tem uma constante dielétrica (permitividade relativa) \kappa (sempre \kappa\ge1 para materiais lineares isotrópicos comuns).
  • A pergunta exige dois exemplos concretos (geometrias distintas ou situações) com cálculos numéricos e explicações físicas.

Passo 2

Conceitos e fórmulas fundamentais (explicação didática):
  • Definição de capacitância: a capacitância de um capacitor é a razão entre a carga livre armazenada numa armadura e a diferença de potencial entre as armaduras:
C=\frac{Q}{V}.
Aqui Q é a carga livre (no sentido de carga transportável nas armaduras) e V é a diferença de potencial entre as placas.
  • Permitividade e constante dielétrica: no vácuo a propriedade eletrostática do meio é a permitividade \varepsilon_0. Quando inserimos um dielétrico homogêneo e linear, a permitividade efetiva no espaço entre as armaduras passa a ser
\varepsilon=\kappa\,\varepsilon_0,
onde \kappa é a constante dielétrica do material. Tipicamente \kappa é maior que 1, por isso \varepsilon\ge\varepsilon_0.
  • Efeito físico do dielétrico (intuição): ao aplicarmos uma carga Q nas armaduras, o dielétrico polariza-se: surgem cargas ligadas na superfície do dielétrico que reduzem o campo elétrico total criado pelas cargas livres. Menor campo elétrico \Rightarrow menor diferença de potencial V para a mesma Q. Como C=Q/V, reduzir V com Q fixo aumenta C.
  • Portanto, para um dielétrico homogêneo preenchendo a região entre armaduras, basta em muitas geometrias substituir \varepsilon_0 por \varepsilon=\kappa\varepsilon_0 nas fórmulas de capacitância; isso dá um fator \kappa multiplicando a capacitância em vácuo:
C=\kappa C_0,
onde C_0 é a capacitância quando o espaço entre armaduras é vácuo (ou ar, aproximadamente \varepsilon_0).

Passo 3

Exemplo 1 — capacitor de placas paralelas (caso muito usado e simples). Desenvolvimento passo a passo e cálculo numérico:
  • Geometria e variáveis: duas placas paralelas de área A separadas por distância d, preenchidas totalmente por um dielétrico homogêneo de constante \kappa.
  • Campo elétrico entre placas (placas com densidade de carga livre \sigma=Q/A): em presença de dielétrico linear, a intensidade do campo (aproximando placas grandes) vale
E=\frac{\sigma}{\varepsilon}=\frac{Q/A}{\kappa\varepsilon_0}.
  • Diferença de potencial entre placas:
V=E\,d=\frac{Q}{\kappa\varepsilon_0}\cdot\frac{d}{A}.
  • Capacitância (usar C=Q/V):
C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\dfrac{Q}{\kappa\varepsilon_0}\cdot\dfrac{d}{A}}=\kappa\varepsilon_0\frac{A}{d}.
  • Interpretação: C=\kappa C_0 com C_0=\varepsilon_0 A/d. Como \kappa\ge1, a capacitância aumentou em relação ao caso sem dielétrico.
  • Cálculo numérico concreto (escolha de números razoáveis para ver a ordem de grandeza): tome A=100\\ \text{cm}^2=0{,}01\\ \text{m}^2, d=1{,}0\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}, \kappa=4 (valor típico de alguns dielétricos).
    • Capacitância sem dielétrico:
    C_0=\varepsilon_0\frac{A}{d}=\left(8{,}85\times10^{-12}\right)\frac{0{,}01}{1{,}0\times10^{-3}}=8{,}85\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
    • Capacitância com dielétrico:
    C=\kappa C_0=4\cdot 8{,}85\times10^{-11}=3{,}54\times10^{-10}\\ \mathrm{F}.
    • Conclusão do exemplo: a capacitância aumentou por um fator \kappa=4.

Passo 4

Breve reforço didático sobre por que o resultado do Passo 3 faz sentido na prova:
  • Para uma mesma carga Q nas placas, a polarização do dielétrico cria cargas ligadas que se opõem ao campo originado pelas cargas livres; a consequência direta é que o campo E dentro do dielétrico é menor do que seria no vácuo. Com menor E, a diferença de potencial V entre placas é menor; como C=Q/V, isso significa C maior. Essa é a explicação física simples que costuma valer em provas.
  • Observação prática: se o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as armaduras, substitui-se \varepsilon_0 por \varepsilon=\kappa\varepsilon_0 nas fórmulas de geometria — esse é o passo padrão em problemas.

Passo 5

Exemplo 2 — capacitor coaxial (mostra que o aumento não é específico das placas paralelas). Desenvolvimento e cálculo:
  • Geometria e variáveis: capacitor formado por dois cilindros concêntricos (condutores) de comprimento L, raio interno a (condutor interno) e raio externo b (condutor externo); região entre a e b preenchida por dielétrico homogêneo de constante \kappa.
  • Capacitância no vácuo (fórmula conhecida para coaxial):
C_0=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}.
Explanação rápida da fórmula: obtida integrando E radial e usando V=\int E\,dr e Q=\lambda L (onde \lambda é densidade linear de carga), mas na prova normalmente basta lembrar a expressão e aplicar \varepsilon\to\kappa\varepsilon_0 quando houver dielétrico.
  • Com dielétrico homogêneo preenchendo o espaço, basta trocar \varepsilon_0 por \varepsilon=\kappa\varepsilon_0:
C=\frac{2\pi\kappa\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}=\kappa C_0.
  • Cálculo numérico concreto: escolha a=1{,}0\\ \text{mm}=1{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}, b=5{,}0\\ \text{mm}=5{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}, L=0{,}10\\ \text{m}, e \kappa=2{,}5.
    • Primeiro calcule \ln(b/a)=\ln(5{,}0/1{,}0)=\ln(5)\approx1{,}609.
    • Capacitância no vácuo:
    C_0=\frac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}=\frac{2\pi\cdot 8{,}85\times10^{-12}\cdot 0{,}10}{1{,}609}\approx 3{,}46\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
    • Com dielétrico:
    C=\kappa C_0=2{,}5\cdot 3{,}46\times10^{-12}\approx 8{,}64\times10^{-12}\\ \mathrm{F}.
    • Conclusão do exemplo: novamente a capacitância aumentou por um fator \kappa=2{,}5.

Passo 6

Resumo final com observações úteis para a prova (dicas práticas e exceções rápidas):
  • Regra prática: se um dielétrico homogêneo, linear e isotrópico preenche totalmente a região entre as armaduras, a capacitância do capacitor é multiplicada por \kappa: \;C=\kappa C_0\;. Como \kappa\ge1, nesse caso a capacitância sempre aumenta.
  • Exceções e nuances que podem aparecer na prova:
    • Se o dielétrico preencher apenas parte do volume entre armaduras, o problema deve ser tratado como combinação (série/paralelo) de capacitores (por exemplo, um trecho com ar e outro com dielétrico) — o resultado ainda fica entre C_0 (sem dielétrico) e \kappa C_0 (dielétrico preenchendo totalmente).
    • Se o material entre placas não for um dielétrico linear ou houver superfícies com arcos condutores, o tratamento pode ser mais complexo; mas para exercícios de graduação, usar \varepsilon=\kappa\varepsilon_0 é a abordagem correta quando o dielétrico é homogêneo.
  • Moral rápida para a prova: ao ver “insere-se um dielétrico” e o dielétrico preenche a região entre armaduras, escreva imediatamente \varepsilon=\kappa\varepsilon_0 e substitua na fórmula geométrica do capacitor; isso resolve a questão do aumento da capacitância.

Resposta

A capacitância aumenta.
Exemplo 1 (placas paralelas): C_0=\varepsilon_0\dfrac{A}{d}=8{,}85\times10^{-11}\\ \mathrm{F}, C=\kappa C_0=3{,}54\times10^{-10}\\ \mathrm{F} (com \kappa=4).
Exemplo 2 (coaxial): C_0=\dfrac{2\pi\varepsilon_0 L}{\ln(b/a)}=3{,}46\times10^{-12}\\ \mathrm{F}, C=\kappa C_0=8{,}64\times10^{-12}\\ \mathrm{F} (com \kappa=2{,}5).

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