7 Qualquer substância que não seja condutora é chamada dielétrico. Nos dielétricos não existem elétrons livres de condução; todos eles estão ligados aos átomos ou às moléculas do dielétrico. Outra constante caraterística dos dielétricos é a constante dielétrica. Ao introduzir-se um dielétrico
entre as armaduras de um capacitor, a capacitância aumenta ou diminuiu. Apresente dois exemplos, com os devidos cálculos e justificativas.
entre as armaduras de um capacitor, a capacitância aumenta ou diminuiu. Apresente dois exemplos, com os devidos cálculos e justificativas.
Passo 1
O enunciado pergunta se, ao introduzir-se um dielétrico entre as armaduras de um capacitor, a capacitância aumenta ou diminui, e pede que eu apresente dois exemplos com cálculos e justificativas. Informações relevantes dadas ou implicadas:
- Um dielétrico é uma substância não condutora; seus elétrons não são livres para conduzir, mas o material pode polarizar-se.
- Cada dielétrico tem uma constante dielétrica (permitividade relativa)
(sempre para materiais lineares isotrópicos comuns). - A pergunta exige dois exemplos concretos (geometrias distintas ou situações) com cálculos numéricos e explicações físicas.
Passo 2
Conceitos e fórmulas fundamentais (explicação didática):
- Definição de capacitância: a capacitância de um capacitor é a razão entre a carga livre armazenada numa armadura e a diferença de potencial entre as armaduras:
Aqui
é a carga livre (no sentido de carga transportável nas armaduras) e
é a diferença de potencial entre as placas.
- Permitividade e constante dielétrica: no vácuo a propriedade eletrostática do meio é a permitividade
. Quando inserimos um dielétrico homogêneo e linear, a permitividade efetiva no espaço entre as armaduras passa a ser
onde
é a constante dielétrica do material. Tipicamente
é maior que 1, por isso
.
- Efeito físico do dielétrico (intuição): ao aplicarmos uma carga
nas armaduras, o dielétrico polariza-se: surgem cargas ligadas na superfície do dielétrico que reduzem o campo elétrico total criado pelas cargas livres. Menor campo elétrico menor diferença de potencial para a mesma . Como , reduzir com fixo aumenta . - Portanto, para um dielétrico homogêneo preenchendo a região entre armaduras, basta em muitas geometrias substituir
por nas fórmulas de capacitância; isso dá um fator multiplicando a capacitância em vácuo:
onde
é a capacitância quando o espaço entre armaduras é vácuo (ou ar, aproximadamente
).
Passo 3
Exemplo 1 — capacitor de placas paralelas (caso muito usado e simples). Desenvolvimento passo a passo e cálculo numérico:
- Geometria e variáveis: duas placas paralelas de área
separadas por distância , preenchidas totalmente por um dielétrico homogêneo de constante . - Campo elétrico entre placas (placas com densidade de carga livre
): em presença de dielétrico linear, a intensidade do campo (aproximando placas grandes) vale
- Diferença de potencial entre placas:
- Capacitância (usar
):
- Interpretação:
com . Como , a capacitância aumentou em relação ao caso sem dielétrico. - Cálculo numérico concreto (escolha de números razoáveis para ver a ordem de grandeza): tome
, , (valor típico de alguns dielétricos). - Capacitância sem dielétrico:
- Capacitância com dielétrico:
- Conclusão do exemplo: a capacitância aumentou por um fator
.
Passo 4
Breve reforço didático sobre por que o resultado do Passo 3 faz sentido na prova:
- Para uma mesma carga
nas placas, a polarização do dielétrico cria cargas ligadas que se opõem ao campo originado pelas cargas livres; a consequência direta é que o campo dentro do dielétrico é menor do que seria no vácuo. Com menor , a diferença de potencial entre placas é menor; como , isso significa maior. Essa é a explicação física simples que costuma valer em provas. - Observação prática: se o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as armaduras, substitui-se
por nas fórmulas de geometria — esse é o passo padrão em problemas.
Passo 5
Exemplo 2 — capacitor coaxial (mostra que o aumento não é específico das placas paralelas). Desenvolvimento e cálculo:
- Geometria e variáveis: capacitor formado por dois cilindros concêntricos (condutores) de comprimento
, raio interno (condutor interno) e raio externo (condutor externo); região entre e preenchida por dielétrico homogêneo de constante . - Capacitância no vácuo (fórmula conhecida para coaxial):
Explanação rápida da fórmula: obtida integrando
radial e usando
e
(onde
é densidade linear de carga), mas na prova normalmente basta lembrar a expressão e aplicar
quando houver dielétrico.
- Com dielétrico homogêneo preenchendo o espaço, basta trocar
por :
- Cálculo numérico concreto: escolha
, , , e . - Primeiro calcule
. - Capacitância no vácuo:
- Com dielétrico:
- Conclusão do exemplo: novamente a capacitância aumentou por um fator
.
- Primeiro calcule
Passo 6
Resumo final com observações úteis para a prova (dicas práticas e exceções rápidas):
- Regra prática: se um dielétrico homogêneo, linear e isotrópico preenche totalmente a região entre as armaduras, a capacitância do capacitor é multiplicada por
: . Como , nesse caso a capacitância sempre aumenta. - Exceções e nuances que podem aparecer na prova:
- Se o dielétrico preencher apenas parte do volume entre armaduras, o problema deve ser tratado como combinação (série/paralelo) de capacitores (por exemplo, um trecho com ar e outro com dielétrico) — o resultado ainda fica entre
(sem dielétrico) e (dielétrico preenchendo totalmente). - Se o material entre placas não for um dielétrico linear ou houver superfícies com arcos condutores, o tratamento pode ser mais complexo; mas para exercícios de graduação, usar
é a abordagem correta quando o dielétrico é homogêneo.
- Se o dielétrico preencher apenas parte do volume entre armaduras, o problema deve ser tratado como combinação (série/paralelo) de capacitores (por exemplo, um trecho com ar e outro com dielétrico) — o resultado ainda fica entre
- Moral rápida para a prova: ao ver “insere-se um dielétrico” e o dielétrico preenche a região entre armaduras, escreva imediatamente
e substitua na fórmula geométrica do capacitor; isso resolve a questão do aumento da capacitância.
Resposta
A capacitância aumenta.
Exemplo 1 (placas paralelas): ,
(com
).
Exemplo 2 (coaxial): ,
(com
).
Exemplo 1 (placas paralelas):
Exemplo 2 (coaxial):