Conclua sobre a convergência das séries aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4 n+3}{3 n-5}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para concluir sobre a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4 n+3}{3 n-5}\right)^{n}.
Informações fornecidas e observações iniciais:
  • O termo geral da série é a_n=\left(\dfrac{4n+3}{3n-5}\right)^n.
  • Para n grandes o denominador 3n-5 é positivo; para n=1 o denominador é negativo, mas isso não impede o uso de testes de convergência que usam o valor absoluto dos termos.
  • A pergunta é única: determinar se a série converge ou diverge, aplicando um critério adequado (raiz, razão, integral).

Passo 2

Escolha do método: quando o termo geral tem uma expressão elevada a n (isto é, algo da forma b_n^{\,n}), o critério da raiz (teste da raiz) é o mais natural e geralmente o mais simples de aplicar. Vou usar o teste da raiz porque ele compara justamente a base b_n pelo comportamento da n-ésima raiz de |a_n|.
Enunciado do teste da raiz (forma usada aqui):
\text{Se }L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}\quad\text{então}ã
  • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui \sqrt[n]{|a_n|} significa a raiz n-ésima do valor absoluto do termo a_n.

Passo 3

Calcular a n-ésima raiz de |a_n|. Como a_n=\left(\dfrac{4n+3}{3n-5}\right)^n, tem-se
\sqrt[n]{|a_n|}=\left|\frac{4n+3}{3n-5}\right|.
Para n grande o denominador é positivo, então o valor absoluto não altera o limite; portanto calculamos
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n+3}{3n-5}.
Dividindo numerador e denominador por n (uma técnica padrão para limites de razão de polinômios):
\lim_{n\to\infty}\frac{4n+3}{3n-5}=\lim_{n\to\infty}\frac{4+\tfrac{3}{n}}{3-\tfrac{5}{n}}=\frac{4}{3}.

Passo 4

Interpretação do resultado do teste da raiz: o limite encontrado é
L=\frac{4}{3}>1.
Pelo teste da raiz, se L>1 a série diverge. Portanto a série dada diverge.
Comentário extra (intuitivo e útil na prova): quando a n-ésima raiz do módulo do termo tende para um número maior que 1, isso significa que os termos têm crescimento geométrico efetivo com razão maior que 1, então os termos não vão a zero e a soma não pode convergir. Alternativamente, pode-se ver que |a_n|^{1/n}\to 4/3>1 já implica que |a_n| não tende a 0, logo a série diverge pelo teste do termo geral.

Resposta

A série diverge.

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