Quanta energia térmica deve ser adicionada à mistura gasosa consistindo de 1 g de hidrogênio e 1 g de hélio para elevar sua temperatura de 0^{\circ} \mathrm{C} para 100^{\circ} \mathrm{C} :
a. a volume constante?
b. a pressão constante? (R=2 \mathrm{cal} / \mathrm{mol} \mathrm{K})

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede a quantidade de energia térmica que deve ser adicionada à mistura gasosa formada por 1\\ \mathrm{g} de hidrogênio e 1\\ \mathrm{g} de hélio para elevar a temperatura de 0^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C} nas duas situações:
    a. a volume constante;
    b. a pressão constante.
  • Dados fornecidos: constante universal dos gases R=2\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Temperaturas: de 0^\circ\mathrm{C} para 100^\circ\mathrm{C} → variação de temperatura \Delta T=100\\ \mathrm{K}.
  • Massas fornecidas: 1\\ \mathrm{g} de \mathrm{H_2} e 1\\ \mathrm{g} de \mathrm{He}.
  • Informações que precisamos (e vamos usar): massas molares típicas — massa molar de \mathrm{H_2} é 2\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}} e de \mathrm{He} é 4\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}. Assumiremos comportamento de gás ideal e capacidades molares ideais com rotações excitadas (modelo usual a temperatura ambiente): gás diatômico ( \mathrm{H_2}) com C_{V,\mathrm{m}}=\tfrac{5}{2}R e gás monoatômico ( \mathrm{He}) com C_{V,\mathrm{m}}=\tfrac{3}{2}R. A partir disso teremos C_{P,\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}+R.

Passo 2

Calcular o número de mols de cada gás (vou mostrar passo a passo como fazer isso).
  • Fórmula para número de mols: n=\dfrac{m}{M}, onde m é a massa da amostra e M é a massa molar.
  • Para \mathrm{H_2}: m_{\mathrm{H_2}}=1\\ \mathrm{g} e M_{\mathrm{H_2}}=2\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}. Logo
n_{\mathrm{H_2}}=\dfrac{1\\ \mathrm{g}}{2\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=0{,}5\\ \mathrm{mol}.
  • Para \mathrm{He}: m_{\mathrm{He}}=1\\ \mathrm{g} e M_{\mathrm{He}}=4\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}. Logo
n_{\mathrm{He}}=\dfrac{1\\ \mathrm{g}}{4\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}}}=0{,}25\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Determinar as capacidades caloríficas molares (explicando por que usamos esses valores).
  • Para um gás ideal monoatômico (como \mathrm{He}) a teoria cinética dá número de graus de liberdade f=3 (apenas translação). A capacidade calorífica molar a volume constante é
C_{V,\mathrm{m}}=\dfrac{f}{2}R=\dfrac{3}{2}R.
Com R=2\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\\ K^{-1}} temos
C_{V,\mathrm{m}}(\mathrm{He})=\dfrac{3}{2}\cdot 2=3\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
E a C_{P,\mathrm{m}}=C_{V,\mathrm{m}}+R=3+2=5\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
  • Para um gás ideal diatômico (como \mathrm{H_2}, desprezando excitação vibracional em 0\!-\!100^\circ\mathrm{C}) a teoria dá f=5 (3 translação + 2 rotação), então
C_{V,\mathrm{m}}(\mathrm{H_2})=\dfrac{5}{2}R=2{,}5\cdot 2=5\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
E
C_{P,\mathrm{m}}(\mathrm{H_2})=C_{V,\mathrm{m}}+R=5+2=7\\ \mathrm{cal\\ mol^{-1}\\ K^{-1}}.
Observação amicale: essas fórmulas vêm da equipartição de energia — cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R para C_V. Se isso soar novo, basta decorar que monoatômico \Rightarrow C_V=\tfrac{3}{2}R, diatômico (sem vibração) \Rightarrow C_V=\tfrac{5}{2}R.

Passo 4

Energia necessária a volume constante (detalhar a fórmula e aplicar).
  • Para processo a volume constante, não há trabalho P\Delta V=0. A energia térmica fornecida vai para aumentar a energia interna: Q_V=\Delta U.
  • Fórmula (para gás ideal): \Delta U=\displaystyle\sum_i n_i C_{V,\mathrm{m},i}\Delta T, onde n_i é o número de mols do componente i e C_{V,\mathrm{m},i} sua capacidade molar a volume constante.
  • Aplicando aos dois gases com \Delta T=100\\ \mathrm{K}:
    • Contribuição de \mathrm{H_2}:
    Q_{V,\mathrm{H_2}}=n_{\mathrm{H_2}}\,C_{V,\mathrm{m}}(\mathrm{H_2})\,\Delta T =0{,}5\cdot 5\cdot 100=250\\ \mathrm{cal}.
    • Contribuição de \mathrm{He}:
    Q_{V,\mathrm{He}}=n_{\mathrm{He}}\,C_{V,\mathrm{m}}(\mathrm{He})\,\Delta T =0{,}25\cdot 3\cdot 100=75\\ \mathrm{cal}.
  • Energia total a volume constante:
Q_V=Q_{V,\mathrm{H_2}}+Q_{V,\mathrm{He}}=250+75=325\\ \mathrm{cal}.

Passo 5

Energia necessária a pressão constante (mostrar relação com C_P e trabalho).
  • Para processo a pressão constante, o calor fornecido é Q_P=\displaystyle\sum_i n_i C_{P,\mathrm{m},i}\Delta T. Alternativamente pode-se ver Q_P=\Delta U + P\Delta V, e P\Delta V=\left(\sum_i n_i\right)R\Delta T.
  • Usando a fórmula direta com C_P:
    • Contribuição de \mathrm{H_2}:
    Q_{P,\mathrm{H_2}}=n_{\mathrm{H_2}}\,C_{P,\mathrm{m}}(\mathrm{H_2})\,\Delta T =0{,}5\cdot 7\cdot 100=350\\ \mathrm{cal}.
    • Contribuição de \mathrm{He}:
    Q_{P,\mathrm{He}}=n_{\mathrm{He}}\,C_{P,\mathrm{m}}(\mathrm{He})\,\Delta T =0{,}25\cdot 5\cdot 100=125\\ \mathrm{cal}.
  • Energia total a pressão constante:
Q_P=Q_{P,\mathrm{H_2}}+Q_{P,\mathrm{He}}=350+125=475\\ \mathrm{cal}.

Passo 6

Checagem rápida (consistência entre métodos).
  • Verificação: Q_P = \Delta U + P\Delta V.
  • Já calculamos \Delta U=Q_V=325\\ \mathrm{cal}.
  • Trabalho a pressão constante: P\Delta V=\left(n_{\mathrm{H_2}}+n_{\mathrm{He}}\right)R\Delta T=(0{,}5+0{,}25)\cdot 2\cdot 100=0{,}75\cdot 200=150\\ \mathrm{cal}.
  • Soma: 325+150=475\\ \mathrm{cal}, que bate com Q_P calculado acima. Tudo consistente!

Passo 7

Resumo final curto e incentivo (você conseguiu entender os passos principais).
  • Resultado obtido separando por componentes e usando as capacidades molares molares ideais. Não foi necessário saber o volume inicial nem a pressão inicial porque só usamos variação de temperatura e capacidades molares (gás ideal).
  • Parabéns — a técnica que usamos (calcular mols, escolher C_V ou C_P, multiplicar por \Delta T e somar) é exatamente o que costuma cair em prova.

Resposta

a. 325\\ \mathrm{cal}
b. 475\\ \mathrm{cal}

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