Calcule a capacidade térmica específica C_{v} de uma mistura gasosa consistindo de \nu_{1} moles de um gás de expoente adiabático \gamma_{1} e \nu_{2} moles de outro gás de expoente adiabático \gamma_{2}.
\mathbf{A}() \frac{R}{\nu_{1}+\nu_{2}}\left(\frac{\nu_{1}}{\gamma_{1}-1}+\frac{\nu_{2}}{\gamma_{2}-1}\right)
\mathbf{B}() \frac{R}{\nu_{1}+\nu_{2}}\left(\frac{\gamma_{1}}{\nu_{1}-1}+\frac{\gamma_{2}}{\nu_{2}-1}\right)
C() \frac{R}{\nu_{1} \nu_{2}}\left(\frac{\nu_{1}}{\gamma_{1}-1}+\frac{\nu_{2}}{\gamma_{2}-1}\right)
\mathbf{D}() \frac{\boldsymbol{R}}{\gamma_{1}+\gamma_{2}}\left(\frac{\nu_{1}}{\gamma_{1}-1}+\frac{\nu_{2}}{\gamma_{2}-1}\right)
\mathbf{E}() \frac{R}{\nu_{1}+\nu_{2}}\left(\frac{\nu_{1}}{\gamma_{1}+1}+\frac{\nu_{2}}{\gamma_{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado dá:
  • \nu_{1} moles de um gás com expoente adiabático \gamma_{1}.
  • \nu_{2} moles de outro gás com expoente adiabático \gamma_{2}.
O que é pedido:
  • Calcular a capacidade térmica específica C_{v} da mistura gasosa.
    Observação importante: pelas alternativas fornecidas, entende-se que se quer a capacidade térmica molar média da mistura (isto é, a capacidade térmica a volume constante por mole de mistura).

Passo 2

Relembrando uma relação fundamental para um gás ideal monoespécie (por mole):
  • Definições:
    • C_{v} é a capacidade térmica a volume constante por mole (energia necessária para elevar 1 K em 1 mol a volume constante).
    • C_{p} é a capacidade térmica a pressão constante por mole.
    • R é a constante dos gases ideais (por mole).
    • \gamma é o expoente adiabático definido por \gamma = \dfrac{C_{p}}{C_{v}}.
  • Relação de Mayer para gás ideal:
C_{p}-C_{v}=R.
Usando C_{p}=\gamma C_{v} dentro de Mayer:
\gamma C_{v}-C_{v}=R \quad\Rightarrow\quad (\gamma-1)C_{v}=R.
Daí obtemos a capacidade térmica molar a volume constante de cada componente:
C_{v}=\frac{R}{\gamma-1}.
Explicação curta: isto significa que, para cada espécie de gás, o C_v por mole depende apenas de \gamma e de R.

Passo 3

Aplicando o resultado de cada espécie:
  • Para o gás 1 (por mole): C_{v,1}=\dfrac{R}{\gamma_{1}-1}.
  • Para o gás 2 (por mole): C_{v,2}=\dfrac{R}{\gamma_{2}-1}.
Como a energia interna total é a soma das contribuições de cada componente, a capacidade térmica total da mistura (extensiva, isto é, para toda a amostra) a volume constante é a soma das capacidades térmicas de cada porção:
C_{V,\text{total}}=\nu_{1}C_{v,1}+\nu_{2}C_{v,2}.

Passo 4

Substituindo C_{v,1} e C_{v,2}:
C_{V,\text{total}}=\nu_{1}\frac{R}{\gamma_{1}-1}+\nu_{2}\frac{R}{\gamma_{2}-1} =R\!\left(\frac{\nu_{1}}{\gamma_{1}-1}+\frac{\nu_{2}}{\gamma_{2}-1}\right).
Para obter a capacidade térmica específica (molar) da mistura, divide-se a capacidade térmica total pelo número total de moles da mistura \nu_{1}+\nu_{2}:
C_{v,\text{mistura}}=\frac{C_{V,\text{total}}}{\nu_{1}+\nu_{2}} =\frac{R}{\nu_{1}+\nu_{2}}\left(\frac{\nu_{1}}{\gamma_{1}-1}+\frac{\nu_{2}}{\gamma_{2}-1}\right).

Passo 5

Interpretação final e correspondência com as alternativas:
  • A expressão encontrada coincide exatamente com a alternativa \mathbf{A}.

Resposta

\mathbf{A}\\ \displaystyle \frac{R}{\nu_{1}+\nu_{2}}\left(\frac{\nu_{1}}{\gamma_{1}-1}+\frac{\nu_{2}}{\gamma_{2}-1}\right)

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