Calcule a capacidade térmica específica
de uma mistura gasosa consistindo de
moles de um gás de expoente adiabático
e
moles de outro gás de expoente adiabático
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
moles de um gás com expoente adiabático . -
moles de outro gás com expoente adiabático .
O que é pedido:
- Calcular a capacidade térmica específica
da mistura gasosa.
Observação importante: pelas alternativas fornecidas, entende-se que se quer a capacidade térmica molar média da mistura (isto é, a capacidade térmica a volume constante por mole de mistura).
Passo 2
Relembrando uma relação fundamental para um gás ideal monoespécie (por mole):
- Definições:
-
é a capacidade térmica a volume constante por mole (energia necessária para elevar 1 K em 1 mol a volume constante). -
é a capacidade térmica a pressão constante por mole. -
é a constante dos gases ideais (por mole). -
é o expoente adiabático definido por .
-
- Relação de Mayer para gás ideal:
Usando
dentro de Mayer:
Daí obtemos a capacidade térmica molar a volume constante de cada componente:
Explicação curta: isto significa que, para cada espécie de gás, o
por mole depende apenas de
e de
.
Passo 3
Aplicando o resultado de cada espécie:
- Para o gás 1 (por mole):
. - Para o gás 2 (por mole):
.
Como a energia interna total é a soma das contribuições de cada componente, a capacidade térmica total da mistura (extensiva, isto é, para toda a amostra) a volume constante é a soma das capacidades térmicas de cada porção:
Passo 4
Substituindo
e
:
Para obter a capacidade térmica específica (molar) da mistura, divide-se a capacidade térmica total pelo número total de moles da mistura
:
Passo 5
Interpretação final e correspondência com as alternativas:
- A expressão encontrada coincide exatamente com a alternativa
.