Quantas diagonais (não das faces) tem um cubo?

Passo 1

O enunciado pergunta quantas diagonais internas (ou seja, aquelas que não pertencem às faces) um cubo possui. Para resolver, vamos usar ideias de combinatória de vértices e conhecer quantas conexões existem em total, depois subtrair as arestas e as diagonais de face.

Passo 2

Um cubo tem 8 vértices. O número total de segmentos que ligam dois vértices quaisquer é dado por
\binom{8}{2} \;=\;\frac{8\cdot7}{2}=28.
Esses 28 segmentos incluem arestas, diagonais de faces e diagonais internas.

Passo 3

Agora separamos em três tipos:
  • Arestas: o cubo tem 12 arestas.
  • Diagonais de faces: cada uma das 6 faces é um quadrado com 2 diagonais, totalizando 6\times2=12.
  • Diagonais internas: é o que queremos achar.

Passo 4

Subtraímos arestas e diagonais de face do total de segmentos:
\text{diagonais internas} =28 - 12 - 12 = 4.

Resposta

4

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