De quantas maneiras 8 meninos e 8 meninas podem formar uma roda para brincar sem que pessoas do mesmo sexo fiquem juntas?

Passo 1

O enunciado pede para organizar 8 meninos e 8 meninas em uma roda de modo que não haja dois da mesma sexo lado a lado. O conteúdo envolvido é permutação circular e o truque de alternância de assentos por sexo.

Passo 2

Vamos primeiro fixar os meninos nos lugares alternados. Como estamos em uma disposição circular, o número de maneiras de ordenar os 8 meninos é
(8-1)! = 7!
porque em permutação circular de n objetos temos (n-1)!.

Passo 3

Depois de posicionar os meninos, surgem exatamente 8 espaços entre eles (um após cada menino). Agora basta colocar as 8 meninas nesses 8 espaços distintos. Isso pode ser feito de 8!
maneiras.

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de formas de arranjar todos os 16 em roda, alternando sexo, é
7! \times 8!.

Resposta

7! \times 8! = 5040 \times 40320 = 203\,212\,800.

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