De quantas maneiras 7 pessoas podem sentar-se em torno de uma mesa circular, sendo que 2 determinadas pessoas não devem estar juntas?

Passo 1

O enunciado pede quantas formas de dispor 7 pessoas ao redor de uma mesa circular, com a restrição de que duas pessoas dadas não fiquem uma ao lado da outra. O conteúdo envolvido é permutação circular e contagem em casos com restrição (princípio da subtração).

Passo 2

Sem impor a restrição de “não ficarem juntas”, o número de arranjos circulares de n pessoas é (n-1)!. Aqui n=7, então
(7-1)! = 6! = 720.

Passo 3

Agora contamos quantos arranjos violam a condição (ou seja, em que as duas pessoas estão juntas). Tratamos essas duas como um único “bloco” mais as outras 5 pessoas, totalizando 6 unidades ao redor da mesa. O número de arranjos circulares dessas 6 unidades é
(6-1)! = 5! = 120.
Dentro do bloco, as duas pessoas podem se permutar de 2 maneiras, ou seja, 2!. Logo, o total de arranjos em que elas ficam juntas é
120 \times 2 = 240.

Passo 4

Pelo princípio da subtração, o número de arranjos em que as duas pessoas não estão juntas é
720 - 240 = 480.

Resposta

480

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