4 De quantas maneiras podemos ordenar as letras \mathrm{a}, \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{b}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{c}, \mathrm{d}, \mathrm{d} de forma que letras iguais nunca estejam juntas?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de um multiconjunto com letras \{\mathrm{a},\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{b},\mathrm{b},\mathrm{c},\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{d}\} de modo que não haja duas letras iguais adjacentes. O conteúdo principal é contagem de permutações de multiconjuntos e Princípio da Inclusão-Exclusão, usando colisão de blocos para modelar ocorrências de adjacência.

Passo 2

Calcular o total de permutações sem restrição. Temos 9 posições e multiplicidades 2,3,2,2.
T = \frac{9!}{2!\,3!\,2!\,2!} = \frac{362880}{48} = 7560.

Passo 3

Definimos para cada letra tipo i o evento U_i = “existe pelo menos uma adjacência de letras i”. Para \mathrm{a}, \mathrm{c} e \mathrm{d} (todas com multiplicidade 2), ao colapsar o par adjacente em um bloco obtemos 8 objetos com multiplicidades 3,2,2. Logo
|U_a|=|U_c|=|U_d| =\frac{8!}{3!\,2!\,2!}=1680.

Passo 4

Para U_b (letra \mathrm{b} com multiplicidade 3), é mais fácil contar o complementar: arranjos sem b’s adjacentes. Primeiro permutamos os 6 outros símbolos \mathrm{a},\mathrm{a},\mathrm{c},\mathrm{c},\mathrm{d},\mathrm{d}:
N_{\text{outros}}=\frac{6!}{2!\,2!\,2!}=90.
Isto cria 7 “gaps” para inserir as 3 b’s sem adjacência, em \binom{7}{3}=35 formas. Então
N_{b,0} =90\cdot35=3150,\quad |U_b|=T-N_{b,0}=7560-3150=4410.

Passo 5

Agora somamos \sum|U_i|:
S_1=|U_a|+|U_b|+|U_c|+|U_d|=1680+4410+1680+1680=9450.
Para as interseções de dois eventos:
  • U_a\cap U_c, U_a\cap U_d e U_c\cap U_d: colapsamos dois pares, sobrando 7 objetos com 3\,b e mais 2-blocos, então
|U_a\cap U_c|=|U_a\cap U_d|=|U_c\cap U_d| =\frac{7!}{3!\,2!}=420.
  • U_a\cap U_b,: em U_a há 1680 arranjos; daqueles, os com nenhuma adjacência de b contámos colocando 5 objetos não-b (um bloco aa, mais cc,cc,dd) em \tfrac{5!}{2!2!}=30 formas e inserindo 3 b’s em \binom{6}{3}=20 gaps, total 600. Logo
|U_a\cap U_b|=1680-600=1080.
Por simetria, o mesmo vale para |U_c\cap U_b| e |U_d\cap U_b|.
Assim
S_2=\sum_{i<j}|U_i\cap U_j| =3\cdot420+3\cdot1080=1260+3240=4500.

Passo 6

Interseções de três eventos:
  • U_a\cap U_c\cap U_d: colapsamos três pares, sobrando 6 objetos sendo 3 b’s e 3 blocos;
|U_a\cap U_c\cap U_d| =\frac{6!}{3!}=120.
  • Dois pares mais U_b: por exemplo U_a\cap U_c\cap U_b. De U_a\cap U_c (420 arranjos) subtraímos os sem b-adjacência: há 4 objetos não-b em \tfrac{4!}{2!}=12 arranjos e \binom{5}{3}=10 formas de inserir b’s, total 120;
|U_a\cap U_c\cap U_b|=420-120=300.
Isto vale para cada par de blocos e U_b, total 3 casos.
S_3=\sum_{i<j<k}|U_i\cap U_j\cap U_k| =120+3\cdot300=1020.

Passo 7

Interseção de todos os quatro eventos U_a\cap U_b\cap U_c\cap U_d: partimos de 120 arranjos em U_a\cap U_c\cap U_d e subtraímos os sem b-adjacência. Ali temos 3 blocos não-b em 3!=6 arranjos e \binom{4}{3}=4 formas de inserir b’s, total 24, logo
|U_a\cap U_b\cap U_c\cap U_d|=120-24=96=S_4.

Passo 8

Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão:
\#\text{bons} = T - S_1 + S_2 - S_3 + S_4 =7560 -9450 +4500 -1020 +96 =1686.

Resposta

1686 maneiras.

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