4 De quantas maneiras podemos ordenar as letras
de forma que letras iguais nunca estejam juntas?
Passo 1
O enunciado pede o número de permutações de um multiconjunto com letras
de modo que não haja duas letras iguais adjacentes. O conteúdo principal é contagem de permutações de multiconjuntos e Princípio da Inclusão-Exclusão, usando colisão de blocos para modelar ocorrências de adjacência.
Passo 2
Calcular o total de permutações sem restrição. Temos 9 posições e multiplicidades
.
Passo 3
Definimos para cada letra tipo
o evento
= “existe pelo menos uma adjacência de letras
”. Para
,
e
(todas com multiplicidade 2), ao colapsar o par adjacente em um bloco obtemos 8 objetos com multiplicidades
. Logo
Passo 4
Para
(letra
com multiplicidade 3), é mais fácil contar o complementar: arranjos sem b’s adjacentes. Primeiro permutamos os 6 outros símbolos
:
Isto cria 7 “gaps” para inserir as 3 b’s sem adjacência, em
formas. Então
Passo 5
Agora somamos
:
Para as interseções de dois eventos:
-
, e : colapsamos dois pares, sobrando 7 objetos com e mais 2-blocos, então
-
,: em há 1680 arranjos; daqueles, os com nenhuma adjacência de b contámos colocando 5 objetos não-b (um bloco , mais ) em formas e inserindo 3 b’s em gaps, total 600. Logo
Por simetria, o mesmo vale para
e
.
Assim
Assim
Passo 6
Interseções de três eventos:
-
: colapsamos três pares, sobrando 6 objetos sendo 3 b’s e 3 blocos;
- Dois pares mais
: por exemplo . De (420 arranjos) subtraímos os sem b-adjacência: há 4 objetos não-b em arranjos e formas de inserir b’s, total 120;
Isto vale para cada par de blocos e
, total 3 casos.
Passo 7
Interseção de todos os quatro eventos
: partimos de 120 arranjos em
e subtraímos os sem b-adjacência. Ali temos 3 blocos não-b em
arranjos e
formas de inserir b’s, total 24, logo
Passo 8
Aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão: