2 De quantas maneiras podemos distribuir 6 maçãs, 7 laranjas e 8 pêras em três caixas diferentes de modo que cada caixa receba pelo menos uma fruta de cada tipo?
Passo 1
O enunciado pede para distribuir frutas idênticas em caixas distintas, com a restrição de que cada caixa receba pelo menos uma fruta de cada tipo. Vamos usar o princípio de “Stars and Bars” (barras e estrelas), que diz que a quantidade de soluções positivas da equação
é
Passo 2
Para as 6 maçãs: seja
o número de maçãs na caixa
. Temos
Pelo “Stars and Bars”, o número de distribuições é
Passo 3
Para as 7 laranjas: seja
o número de laranjas na caixa
. Temos
logo o total de maneiras é
Passo 4
Para as 8 pêras: seja
o número de pêras na caixa
. Temos
e o número de soluções é
Passo 5
Como as distribuições de maçãs, laranjas e pêras são independentes, o total de maneiras é o produto dos três valores: