Quantas revoluções fará a hélice circular \mathbf{r}=a \cos t \mathbf{i}+a \operatorname{sen} t \mathbf{j}+0,2 t \mathbf{k} em uma distância de 10 unidades medida ao longo do eixo- z ?

Passo 1

O enunciado nos dá a hélice parametrizada por
\mathbf{r}(t)=a\cos t\,\mathbf{i}+a\sin t\,\mathbf{j}+0,2\,t\,\mathbf{k}
e pede quantas revoluções ela faz quando avança 10 unidades ao longo do eixo z. Cada revolução corresponde a um aumento de t de 2\pi.

Passo 2

Da componente z vemos que
z(t)=0,2\,t.
Para que a hélice suba 10 unidades em z, basta encontrar t tal que
0,2\,t=10.

Passo 3

Resolvendo
t=\frac{10}{0,2}=50.

Passo 4

Como cada revolução ocorre quando t aumenta de 2\pi, o número de revoluções N até t=50 é
N=\frac{t}{2\pi}=\frac{50}{2\pi}=\frac{25}{\pi}.

Resposta

O número de revoluções feitas é \displaystyle \frac{25}{\pi}\approx7{,}96.

Exercícios relacionados