Quantas são as soluções inteiras e positivas de x+ y+z<10 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em inteiros positivos de
x + y + z < 10.
O conteúdo aqui é contagem de soluções inteiras usando o método de “barras e estrelas” (combinatória).

Passo 2

Como queremos x+y+z<10 com x,y,z\ge1, isto equivale a
x+y+z\le9.

Passo 3

Para transformar a desigualdade em igualdade, introduzimos uma variável de folga t\ge0 tal que
x + y + z + t = 9.

Passo 4

Como x,y,z são positivas, fazemos a troca
a = x-1,\quad b = y-1,\quad c = z-1,
de modo que a,b,c\ge0. Substituindo na igualdade,
(a+1)+(b+1)+(c+1)+t = 9 \quad\Longrightarrow\quad a + b + c + t = 6.

Passo 5

O problema ficou em contar soluções não negativas de
a + b + c + t = 6
com quatro variáveis. Pelo “barras e estrelas”, esse número é
\binom{6 + 4 - 1}{4 - 1} \;=\;\binom{9}{3}.

Passo 6

Calculando
\binom{9}{3} = \frac{9\cdot8\cdot7}{3\cdot2\cdot1} = 84.

Resposta

84

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