Sabendo-se que a equação x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=n possui 10 soluções inteiras positivas, determinar n.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = n
em que cada x_{i} é inteiro positivo, e afirma que existem 10 soluções. Vamos descobrir n usando técnicas de combinatória clássica (o método “bolhas e varetas”).

Passo 2

Em combinatória, o número de soluções na forma
x_{1} + \cdots + x_{k} = n
com x_{i}\ge1 é dado por
\binom{n-1}{k-1}.

Passo 3

No nosso caso, k=4, logo o número de soluções é
\binom{n-1}{4-1} \;=\; \binom{n-1}{3}.
E sabemos que isso vale 10:
\binom{n-1}{3} = 10.

Passo 4

Defina m = n - 1. Então queremos resolver
\binom{m}{3} = 10 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{m\,(m-1)\,(m-2)}{6} = 10.
Testando valores inteiros, com m=5 temos
\frac{5\cdot4\cdot3}{6} = 10.

Passo 5

Como m = n-1 = 5, segue que
n = 6.

Resposta

n = 6

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