Quantas soluções inteiras não negativas têm as equações:
x+y+z+t=10 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções em inteiros não negativos da equação
x + y + z + t = 10.
O conteúdo é o método de estrelas e barras (ou teorema de composição), que conta de quantas formas distribuir 10 unidades idênticas entre 4 variáveis.

Passo 2

No método de estrelas e barras, representamos cada unidade por uma “estrela” e cada separação entre variáveis por uma “barra”. Precisamos distribuir 10 estrelas em sequência intercalada por 3 barras (já que são 4 variáveis), totalizando 10 + 3 = 13 posições, das quais escolhemos 3 para serem barras.

Passo 3

A fórmula geral para o número de soluções em inteiros não negativos de
x_1 + x_2 + \cdots + x_k = n
é
\binom{n + k - 1}{k - 1}.
Aqui n = 10 e k = 4, logo usamos
\binom{10 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{13}{3}.

Passo 4

Calculamos
\binom{13}{3} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 286.

Resposta

286

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