Obtenha o conjunto solução da equação a seguir:
\binom{n-3}{2}=21 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de n tais que o coeficiente binomial
\binom{n-3}{2}
seja igual a 21. O conteúdo aqui é resolução de equações envolvendo coeficiente binomial, usando a fórmula
\binom{k}{2} = \frac{k(k-1)}{2}.

Passo 2

Aplicamos a fórmula ao nosso caso, com k = n-3. Temos
\binom{n-3}{2} = \frac{(n-3)\bigl((n-3)-1\bigr)}{2} = \frac{(n-3)(n-4)}{2}.
A equação fica
\frac{(n-3)(n-4)}{2} = 21.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
(n-3)(n-4) = 42.
Expandindo, obtemos a equação quadrática
n^2 - 7n +12 = 42
ou seja
n^2 - 7n - 30 = 0.

Passo 4

Resolvemos a equação quadrática
n^2 - 7n - 30 = 0
usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-7)^2 - 4\cdot1\cdot(-30) = 49 + 120 = 169,
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n = \frac{7 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{7 \pm 13}{2}.
Isso dá as raízes
n = \frac{7 + 13}{2} = 10 \quad\text{e}\quad n = \frac{7 - 13}{2} = -3.

Passo 5

Devemos verificar o domínio do coeficiente binomial \binom{n-3}{2}. Para o uso combinatório clássico, exige-se n-3 \ge 2, ou seja n\ge5. Dentre as soluções encontradas, apenas n=10 satisfaz essa condição.

Resposta

O conjunto–solução é \{10\}.

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