Em quantas soluções inteiras positivas da equação
exatamente 2 variáveis são iguais a 1 ?
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções inteiras positivas de
em que exatamente duas das variáveis valem 1.
O que vamos usar aqui é um argumento em duas etapas: primeiro escolhemos quais duas variáveis serão iguais a 1 e, em seguida, contamos as soluções restantes usando o método de “barras e estrelas” (stars and bars) com ajuste de mínimo.
O que vamos usar aqui é um argumento em duas etapas: primeiro escolhemos quais duas variáveis serão iguais a 1 e, em seguida, contamos as soluções restantes usando o método de “barras e estrelas” (stars and bars) com ajuste de mínimo.
Passo 2
Escolhendo as 2 variáveis que valem 1: há
formas de escolher 2 dentre 5.
No texto, isso é .
No texto, isso é
Passo 3
Nas 3 variáveis restantes (as que não valem 1), cada uma precisa ser pelo menos 2, e a soma delas deve ser
Para aplicar barras e estrelas, fazemos a mudança
de modo que
e
O número de soluções inteiras positivas de
é dado por
é dado por
Passo 4
Agora é só multiplicar o número de escolhas das variáveis iguais a 1 pelo número de soluções das outras três:
Resposta
660