Em quantas soluções inteiras positivas da equação x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=18 exatamente 2 variáveis são iguais a 1 ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções inteiras positivas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=18
em que exatamente duas das variáveis valem 1.
O que vamos usar aqui é um argumento em duas etapas: primeiro escolhemos quais duas variáveis serão iguais a 1 e, em seguida, contamos as soluções restantes usando o método de “barras e estrelas” (stars and bars) com ajuste de mínimo.

Passo 2

Escolhendo as 2 variáveis que valem 1: há \binom{5}{2} formas de escolher 2 dentre 5.
No texto, isso é \binom{5}{2}=10.

Passo 3

Nas 3 variáveis restantes (as que não valem 1), cada uma precisa ser pelo menos 2, e a soma delas deve ser
18 - 2\cdot 1 = 16.
Para aplicar barras e estrelas, fazemos a mudança
y_i = x_i - 1,
de modo que y_i \ge 1 e
\sum_{i=1}^{3} y_i = 16 - 3 = 13.
O número de soluções inteiras positivas de \sum_{i=1}^{3} y_i = 13
é dado por
\binom{13-1}{3-1} \;=\;\binom{12}{2}\;=\;66.

Passo 4

Agora é só multiplicar o número de escolhas das variáveis iguais a 1 pelo número de soluções das outras três:
10 \times 66 = 660.

Resposta

660

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