(a) Quantas soluções em inteiros não negativos existem para a equação:
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=29 ?
(b) Quantas soluções inteiras existem para a equação acima que satisfazem as condições:
x_{1}>0, \quad x_{2}>1, \quad x_{3}>2, \quad x_{4} \geq 0 ?

Passo 1

O enunciado pede duas contagens de soluções inteiras para a equação
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=29.
Em (a) permitimos x_{i}\ge0. Em (b) temos restrições
x_{1}>0,\quad x_{2}>1,\quad x_{3}>2,\quad x_{4}\ge0.
O conteúdo é o método de “estrelas e barras” (ou “stars and bars”) para contar soluções inteiras não negativas, e a técnica de mudança de variável para incorporar limites inferiores.

Passo 2

Para (a), como cada x_{i} pode ser zero ou positivo, o número de soluções não negativas de
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=29
é dado por
\binom{29+4-1}{4-1} = \binom{32}{3}.
Calculando
\binom{32}{3} = \frac{32\cdot31\cdot30}{3\cdot2\cdot1} = 4960.

Passo 3

Para (b), definimos novas variáveis para eliminar as restrições inferiores:
y_{1}=x_{1}-1,\quad y_{2}=x_{2}-2,\quad y_{3}=x_{3}-3,\quad y_{4}=x_{4}.
Cada y_{i}\ge0 e
y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4} =29-(1+2+3)=23.
Então o número de soluções não negativas para os y_{i} é
\binom{23+4-1}{4-1}=\binom{26}{3}
e
\binom{26}{3}=\frac{26\cdot25\cdot24}{6}=2600.

Resposta

(a) \displaystyle 4960
(b) \displaystyle 2600

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