(a) Quantas soluções em inteiros não negativos existem para a equação:
(b) Quantas soluções inteiras existem para a equação acima que satisfazem as condições:
Passo 1
O enunciado pede duas contagens de soluções inteiras para a equação
Em (a) permitimos
. Em (b) temos restrições
O conteúdo é o método de “estrelas e barras” (ou “stars and bars”) para contar soluções inteiras não negativas, e a técnica de mudança de variável para incorporar limites inferiores.
Passo 2
Para (a), como cada
pode ser zero ou positivo, o número de soluções não negativas de
é dado por
Calculando
Passo 3
Para (b), definimos novas variáveis para eliminar as restrições inferiores:
Cada
e
Então o número de soluções não negativas para os
é
e
Resposta
(a)
(b)
(b)