Uma quantidade de gasolina está sendo descarregada de um tubo em um ponto 2, cujo gradiente energético está na elevação 66,65 m. O ponto 1 está localizado a
de tubo do ponto 2 , cujo gradiente energético está na elevação de
. A rugosidade do tubo é
0,50 mm. Qual o diâmetro do tubo necessário para descarregar a gasolina (
) numa vazão de
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um trecho de tubo de 965,5 m por onde sai gasolina, indo do ponto 1 (gradiente energético de 82,65 m) até o ponto 2 (gradiente de 66,65 m). A rugosidade absoluta do tubo é ε = 0,50 mm e a viscosidade cinemática é ν = 4,06×10⁻⁷ m²/s. O fluxo volumétrico é Q = 100 L/s.
Isso é um problema típico de Mecânica dos Fluidos: a gente vai usar a equação de Bernoulli/Energia com perda de carga (fórmula de Darcy–Weisbach), estimar o coeficiente de atrito f via fórmula de Swamee–Jain ou Colebrook e achar o diâmetro D do tubo por iteração.
Isso é um problema típico de Mecânica dos Fluidos: a gente vai usar a equação de Bernoulli/Energia com perda de carga (fórmula de Darcy–Weisbach), estimar o coeficiente de atrito f via fórmula de Swamee–Jain ou Colebrook e achar o diâmetro D do tubo por iteração.
Passo 2
Calcular a perda de carga disponível entre os pontos 1 e 2:
H₁ – H₂ = 82,65 m – 66,65 m = 16,00 m
H₁ – H₂ = 82,65 m – 66,65 m = 16,00 m
Passo 3
Converter tudo para o SI:
Q = 100 L/s = 0,100 m³/s
ε = 0,50 mm = 5,0×10⁻⁴ m
L = 965,5 m
g = 9,81 m/s²
Q = 100 L/s = 0,100 m³/s
ε = 0,50 mm = 5,0×10⁻⁴ m
L = 965,5 m
g = 9,81 m/s²
Passo 4
Equação de energia (sem bomba e sem variação de elevação, só perda de carga):
H₁ – H₂ = h_f = f · (L/D) · (V²/(2g))
onde V = Q/A = 4Q/(πD²).
Substituindo V²:
h_f = f · (L/D) · (16 Q²/(π² D⁴ · 2g)) = f · (8 Q² L)/(π² g D⁵)
H₁ – H₂ = h_f = f · (L/D) · (V²/(2g))
onde V = Q/A = 4Q/(πD²).
Substituindo V²:
h_f = f · (L/D) · (16 Q²/(π² D⁴ · 2g)) = f · (8 Q² L)/(π² g D⁵)
Passo 5
Reorganizando para D:
D⁵ = (8 Q² L f)/(π² g (H₁–H₂))
Mas f depende de D via Reynolds e rugosidade relativa ε/D, então vamos iterar usando a fórmula de Swamee–Jain (explícita):
D⁵ = (8 Q² L f)/(π² g (H₁–H₂))
Mas f depende de D via Reynolds e rugosidade relativa ε/D, então vamos iterar usando a fórmula de Swamee–Jain (explícita):
- calcular Re = V D/ν, com V = 4Q/(πD²)
- calcular
f = 0,25 / [ log₁₀( (ε/(3,7 D)) + (5,74/Re^0.9) ) ]² - atualizar D pela equação acima
- repetir até convergir
Passo 6
Iterando (resumindo os cálculos):
1ª iteração, chutamos D≈0,20 m → f≈0,0089 → D≈0,213 m
2ª iteração, D≈0,213 m → f≈0,0246 → D≈0,262 m
3ª iteração, D≈0,262 m → f≈0,0234 → D≈0,259 m
4ª iteração, D≈0,259 m → f≈0,0234 → D≈0,259 m (convergiu)
1ª iteração, chutamos D≈0,20 m → f≈0,0089 → D≈0,213 m
2ª iteração, D≈0,213 m → f≈0,0246 → D≈0,262 m
3ª iteração, D≈0,262 m → f≈0,0234 → D≈0,259 m
4ª iteração, D≈0,259 m → f≈0,0234 → D≈0,259 m (convergiu)
Resposta
O diâmetro interno necessário do tubo é aproximadamente