A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\lambda e^{-x / 100}, & \text { se } \quad x \geqslant 0 \\\ 0, & \text { se } \quad x<0\end{array}\right.
Qual é a probabilidade de que
o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar?

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória contínua X cujo tempo de vida do computador tem densidade
f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-x/100},&x\ge0,\\\\ 0,&x<0. \end{cases}
O que precisamos é calcular
P(50 \le X \le 150).
Para isso, vamos identificar que se trata de uma distribuição exponencial e usar sua função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Primeiro determinamos \lambda impondo a normalização
\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-x/100}\,dx = 1.
Fazendo a integral,
\lambda\int_{0}^{\infty}e^{-x/100}\,dx =\lambda\bigl[-100e^{-x/100}\bigr]_{0}^{\infty} =\lambda\cdot100 = 1,
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\lambda = \frac{1}{100}.

Passo 3

Com \lambda=\tfrac{1}{100}, X é exponencial com parâmetro \lambda. A CDF para x\ge0 é
F(x) = 1 - e^{-\lambda x} = 1 - e^{-x/100}.

Passo 4

Então
P(50 \le X \le 150) = F(150) - F(50) =\bigl(1 - e^{-150/100}\bigr) - \bigl(1 - e^{-50/100}\bigr) = e^{-50/100} - e^{-150/100}.
Isto é
P(50 \le X \le 150) = e^{-0.5} - e^{-1.5}.

Passo 5

Se quisermos um valor aproximado,
e^{-0.5}\approx0,6065, \quad e^{-1.5}\approx0,2231,
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P(50 \le X \le 150)\approx0,6065 - 0,2231 = 0,3834.

Resposta

P(50 \le X \le 150) = e^{-0.5} - e^{-1.5}\approx0{,}3834.

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