Suponha que X \sim \operatorname{Exp}(\lambda). Verificar que
(a) f é legítima;
(b) F(x)=P(X \leq x)=1-e^{-\lambda x}, x \geq 0, F(x)=0, x<0.
(c) E(X)=\lambda e V(X)=1 / \lambda^{2}.
(d) Dados t, t_{0} números reais positivos
P\left(X \geq t+t_{0} \mid X \geq t_{0}\right)=P(X \geq t) \text { e } P\left(X \leq t+t_{0} \mid X \geq t_{0}\right)=P(X \leq t)
Passo 1
O enunciado diz que X\) segue uma distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda>0\), ou seja, sua densidade é
\[f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\ge0,\\\\ 0,&x<0. \end{cases}
Precisamos verificar quatro coisas: (a) que f\] é de fato uma densidade (legítima); (b) calcular a função de distribuição acumulada \(F(x)=P(X\le x); (c) obter E(X) e \mathrm{Var}(X); e (d) demonstrar a propriedade sem memória.
Passo 2
Para f ser legítima, deve ocorrer f(x)\ge0 para todo x e
(a) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1 e f(x)\ge0, logo é legítima.
(b) F(x)=0 para x<0 e F(x)=1-e^{-\lambda x} para x\ge0.
(c) E(X)=1/\lambda e \mathrm{Var}(X)=1/\lambda^{2}.
(d) P(X\ge t+t_{0}\mid X\ge t_{0})=P(X\ge t) e P(X\le t+t_{0}\mid X\ge t_{0})=P(X\le t).