Suponha que X \sim \operatorname{Exp}(\lambda). Verificar que
(a) f é legítima;
(b) F(x)=P(X \leq x)=1-e^{-\lambda x}, x \geq 0, F(x)=0, x<0.
(c) E(X)=\lambda e V(X)=1 / \lambda^{2}.
(d) Dados t, t_{0} números reais positivos
P\left(X \geq t+t_{0} \mid X \geq t_{0}\right)=P(X \geq t) \text { e } P\left(X \leq t+t_{0} \mid X \geq t_{0}\right)=P(X \leq t)

Passo 1

O enunciado diz que X\) segue uma distribuição exponencial com parâmetro \(\lambda>0\), ou seja, sua densidade é \[f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\ge0,\\\\ 0,&x<0. \end{cases}
Precisamos verificar quatro coisas: (a) que f\] é de fato uma densidade (legítima); (b) calcular a função de distribuição acumulada \(F(x)=P(X\le x); (c) obter E(X) e \mathrm{Var}(X); e (d) demonstrar a propriedade sem memória.

Passo 2

Para f ser legítima, deve ocorrer f(x)\ge0 para todo x e
\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x =\bigl[-e^{-\lambda x}\bigr]_{0}^{\infty} =0 - (-1)=1.
Logo f(x)\ge0 e a integral total vale 1, isto é, f é uma densidade válida.

Passo 3

A função de distribuição acumulada é
para x<0:
F(x)=P(X\le x)=0
e para x\ge0:
F(x)=\int_{0}^{x}\lambda e^{-\lambda t}\,\mathrm{d}t =\bigl[-e^{-\lambda t}\bigr]_{0}^{x} =1-e^{-\lambda x}.
Assim obtivemos
F(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\\ 1-e^{-\lambda x},&x\ge0. \end{cases}

Passo 4

Para calcular E(X) usamos integração por partes em
E(X)=\int_{0}^{\infty}x\,\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x.
Seja u=x e \mathrm{d}v=\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x, então u'=1 e v=-e^{-\lambda x}. Logo
E(X) =\bigl.x(-e^{-\lambda x})\bigr]_{0}^{\infty} +\int_{0}^{\infty}e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x =0 +\Bigl[-\tfrac1\lambda e^{-\lambda x}\Bigr]_{0}^{\infty} =\tfrac1\lambda.
Para a variância precisamos de E(X^2). Fazendo análogo:
E(X^2)=\int_{0}^{\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x}\,\mathrm{d}x =\frac{2}{\lambda^2}.
Então
\mathrm{Var}(X) =E(X^2)-[E(X)]^2 =\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2} =\frac{1}{\lambda^2}.

Passo 5

A propriedade sem memória pede que, para t,t_{0}>0,
P\bigl(X\ge t+t_{0}\mid X\ge t_{0}\bigr) =\frac{P\bigl(X\ge t+t_{0}\bigr)}{P\bigl(X\ge t_{0}\bigr)} =\frac{e^{-\lambda(t+t_{0})}}{e^{-\lambda t_{0}}} =e^{-\lambda t} =P(X\ge t).
Em consequência,
P\bigl(X\le t+t_{0}\mid X\ge t_{0}\bigr) =1-P\bigl(X>t+t_{0}\mid X\ge t_{0}\bigr) =1-e^{-\lambda t} =P(X\le t).
Isto confirma a falta de memória da exponencial.

Resposta

(a) \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=1 e f(x)\ge0, logo é legítima.
(b) F(x)=0 para x<0 e F(x)=1-e^{-\lambda x} para x\ge0.
(c) E(X)=1/\lambda e \mathrm{Var}(X)=1/\lambda^{2}.
(d) P(X\ge t+t_{0}\mid X\ge t_{0})=P(X\ge t) e P(X\le t+t_{0}\mid X\ge t_{0})=P(X\le t).

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