Quanto representa 1" em metros?

Passo 1

O enunciado é curto: “Quanto representa 1” em metros?" Vou listar o que temos e uma ambiguidade importante que preciso resolver sem te perguntar nada: o símbolo " pode significar duas coisas diferentes comumente usadas:
  • polegada (inch), unidade de comprimento do sistema imperial;
  • segundo de arco (arcsecond), unidade de ângulo usada em astronomia/geometria.
Vou apresentar as duas interpretações. Explico qual é a conversão bem definida e como tratar cada caso.

Passo 2

Conversão para polegada → metro (caso " = polegada).
  • Definição exata: 1\\ \text{inch} = 25{,}4\\ \text{mm} por acordo internacional. Em metros:
1\\ \text{inch} = 25{,}4\\ \text{mm} = 25{,}4\times10^{-3}\\ \text{m} = 0,0254\\ \text{m}.
  • Interpretação prática: essa é uma conversão fixa e exata. Então, se a sua intenção for polegada, a resposta é direta e única.

Passo 3

O que é o segundo de arco e como convertê-lo (caso " = segundo de arco).
  • Definição angular: 1\\ \text{grau} = 60\\ \text{minutos de arco} e 1\\ \text{minuto de arco} = 60\\ \text{segundos de arco}. Logo
1'' = \frac{1}{3600}\\ \text{grau}.
  • Converter graus para radianos: 1\\ \text{grau} = \dfrac{\pi}{180}\\ \text{rad}. Assim
1'' = \frac{1}{3600}\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{648000}\\ \text{rad}\approx 4,848136811\times10^{-6}\\ \text{rad}.

Passo 4

Como passar de ângulo (segundo de arco) para comprimento em metros.
  • Regra (aproximação de ângulo pequeno): o comprimento linear s correspondente a um ângulo pequeno \theta (em radianos) visto a uma distância D é aproximadamente
s \approx D\cdot\theta,
onde D e s estão nas mesmas unidades (por exemplo metros).
  • Aplicando \theta=1''=\dfrac{\pi}{648000}\\ \text{rad}:
s \approx D\cdot\frac{\pi}{648000}\approx D\cdot 4,848136811\times10^{-6}.
  • Exemplos numéricos:
    • Se D=1{,}0\\ \text{m}, então s\approx 4,848\times10^{-6}\\ \text{m} (aprox. 4{,}8\\ \mu\text{m}).
    • Se D=1000\\ \text{m} (1 km), então s\approx 4,848\times10^{-3}\\ \text{m} (aprox. 4{,}85\\ \text{mm}).
    • Em astronomia: a 1 parsec ( 1\\ \text{pc}\approx 3,085677581\times10^{16}\\ \text{m}), um ângulo de 1'' corresponde a cerca de 1\\ \text{UA} ( 1\\ \text{UA}\approx 1,495978707\times10^{11}\\ \text{m}) — essa relação define o parsec.

Passo 5

Resumo e dica prática:
  • Se você queria converter polegada para metro, use a resposta fixa e exata do Passo 2.
  • Se você queria saber o que é 1'' como ângulo, precisa também da distância D para transformar em metros; use a fórmula do Passo 4 para obter o comprimento linear.

Resposta

1'' (polegada) =0,0254\\ \text{m}.
1'' (segundo de arco) =\dfrac{\pi}{648000}\\ \text{rad}\approx 4,848136811\times10^{-6}\\ \text{rad}, e o comprimento correspondente a essa abertura a uma distância D é s\approx D\cdot 4,848136811\times10^{-6}.

Exercícios relacionados