Em quanto tempo um capital duplicará de valor a juros compostos de 24 \% ao ano capitalizados mensalmente? R.: 2 anos e 11 meses.

Passo 1

O problema pergunta em quanto tempo um capital irá duplicar de valor (ou seja, quando o montante será o dobro do capital inicial) sabendo que a taxa é de 24\% ao ano com capitalização mensal. Informações relevantes fornecidas:
  • taxa nominal anual: 24\% ao ano, capitalizada mensalmente;
  • queremos o tempo até o montante ser o dobro do capital inicial (fator de multiplicação igual a 2);
  • devemos transformar a taxa anual nominal em taxa periódica mensal antes de aplicar a fórmula de capitalização.

Passo 2

Entender o que significa “taxa nominal anual capitalizada mensalmente”. Quando uma taxa nominal anual r é capitalizada mensalmente, a taxa por mês i é a taxa anual dividida por 12. Aqui,
r = 24\% = 0{,}24
logo a taxa mensal é
i = \frac{r}{12}=\frac{0{,}24}{12}=0{,}02.
Explicação didática: i é a fração que o capital cresce a cada mês; i=0{,}02 significa 2\% ao mês.

Passo 3

Escrever a fórmula de juros compostos e explicar cada símbolo. A fórmula geral do montante após n períodos é
A = P(1+i)^n,
onde:
  • A é o montante (valor final);
  • P é o capital inicial (principal);
  • i é a taxa por período (aqui por mês);
  • n é o número de períodos (aqui número de meses).
    Queremos que A = 2P (duplicar), portanto substituímos na fórmula.

Passo 4

Montar a equação para duplicação e explicar a ideia de isolar o expoente:
2P = P(1+i)^n.
Dividindo ambos os lados por P (que é positivo e não zero) obtemos
2 = (1+i)^n.
Para isolar n quando ele está no expoente usamos logaritmos: se a^x=b com a>0, então x=\dfrac{\ln b}{\ln a}. Aplicando isso aqui,

Passo 5

Aplicar a fórmula dos logaritmos ao nosso caso. Como i=0{,}02, temos 1+i=1{,}02. Assim
n=\frac{\ln 2}{\ln 1{,}02}.
Explicação sobre \ln: \ln é o logaritmo natural (base e); serve para transformar potências em multiplicações/razões, permitindo resolver equações exponenciais.

Passo 6

Calcular numericamente n. Usando valores conhecidos:
\ln 2 \approx 0{,}69314718056,\qquad \ln 1{,}02 \approx 0{,}01980262730.
Dividindo,
n \approx \frac{0{,}69314718056}{0{,}01980262730}\approx 35{,}0028\\ \text{meses}.
Interpretação: são aproximadamente 35{,}0028 meses até o capital duplicar.

Passo 7

Converter meses em anos e meses inteiros e tratar arredondamento. 35{,}0028 meses corresponde a 2 anos e 11{,}0028 meses porque 35 = 2\cdot 12 + 11. Como o tempo deve ser contado em meses completos para que o montante alcance ou ultrapasse exatamente o dobro, precisamos do primeiro mês inteiro em que A\ge2P. Portanto tomamos o próximo mês inteiro se houver fração — aqui já temos 35{,}0028>35, então o número mínimo de meses inteiros necessário é \lceil 35{,}0028\rceil=35 meses, isto é, 2 anos e 11 meses.

Resposta

2 anos e 11 meses.

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