Em quanto tempo um capital duplicará de valor a juros compostos de
ao ano capitalizados mensalmente? R.: 2 anos e 11 meses.
Passo 1
O problema pergunta em quanto tempo um capital irá duplicar de valor (ou seja, quando o montante será o dobro do capital inicial) sabendo que a taxa é de
ao ano com capitalização mensal. Informações relevantes fornecidas:
- taxa nominal anual:
ao ano, capitalizada mensalmente; - queremos o tempo até o montante ser o dobro do capital inicial (fator de multiplicação igual a
); - devemos transformar a taxa anual nominal em taxa periódica mensal antes de aplicar a fórmula de capitalização.
Passo 2
Entender o que significa “taxa nominal anual capitalizada mensalmente”. Quando uma taxa nominal anual
é capitalizada mensalmente, a taxa por mês
é a taxa anual dividida por
. Aqui,
logo a taxa mensal é
Explicação didática:
é a fração que o capital cresce a cada mês;
significa
ao mês.
Passo 3
Escrever a fórmula de juros compostos e explicar cada símbolo. A fórmula geral do montante após
períodos é
onde:
-
é o montante (valor final); -
é o capital inicial (principal); -
é a taxa por período (aqui por mês); -
é o número de períodos (aqui número de meses).
Queremos que(duplicar), portanto substituímos na fórmula.
Passo 4
Montar a equação para duplicação e explicar a ideia de isolar o expoente:
Dividindo ambos os lados por
(que é positivo e não zero) obtemos
Para isolar
quando ele está no expoente usamos logaritmos: se
com
, então
. Aplicando isso aqui,
Passo 5
Aplicar a fórmula dos logaritmos ao nosso caso. Como
, temos
. Assim
Explicação sobre
:
é o logaritmo natural (base
); serve para transformar potências em multiplicações/razões, permitindo resolver equações exponenciais.
Passo 6
Calcular numericamente
. Usando valores conhecidos:
Dividindo,
Interpretação: são aproximadamente
meses até o capital duplicar.
Passo 7
Converter meses em anos e meses inteiros e tratar arredondamento.
meses corresponde a
anos e
meses porque
. Como o tempo deve ser contado em meses completos para que o montante alcance ou ultrapasse exatamente o dobro, precisamos do primeiro mês inteiro em que
. Portanto tomamos o próximo mês inteiro se houver fração — aqui já temos
, então o número mínimo de meses inteiros necessário é
meses, isto é,
anos e
meses.