Calcular o montante de \mathrm{R} \ 50.000,00 no fim de um ano, a juros compostos de30 % ao ano, capitalizados mensalmente. R\ 67.244,44.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o montante ao fim de um ano de um capital de 50.000,00 reais, aplicados a juros compostos com taxa nominal de 30\% ao ano, capitalizados mensalmente.\n
Dados fornecidos:
\\ P = 50.000,00 (capital inicial),
taxa nominal anual =30\% (capitalização mensal),
capitalização mensal \Rightarrow número de períodos por ano m=12,
período total =1 ano \Rightarrow número de meses n=12.

Passo 2

Entender o que significa “juros compostos de 30\% ao ano, capitalizados mensalmente”.\n
Quando a taxa é dada como nominal anual capitalizada mensalmente, dividimos a taxa anual pelo número de meses para obter a taxa por mês. Assim definimos a taxa mensal \,i_m:\n
i_m=\frac{0,30}{12}=0,025.
Expliquei: aqui 0,30 é a representação decimal de 30\%. Dividindo por 12 obtemos 0,025, que é 2,5\% ao mês.

Passo 3

Fórmula do montante em juros compostos com capitalização por períodos menores (mensal):\n
M = P(1+i_m)^n,
onde M é o montante no final, P é o principal (capital inicial), i_m é a taxa por período (mensal) em forma decimal, e n é o número de períodos (número de meses).\n
Expliquei: o fator (1+i_m)^n acumula os juros mês a mês, multiplicando-se sobre si.

Passo 4

Aplicando os dados na fórmula: \n
M = 50.000,00\,(1+0,025)^{12} = 50.000,00\,(1,025)^{12}.

Passo 5

Calcular (1,025)^{12} passo a passo (multiplicações sucessivas, jeito que dá para fazer na prova sem fórmulas avançadas):\n
\begin{aligned} (1,025)^1 &= 1,025,\\\ (1,025)^2 &= 1,050625,\\\ (1,025)^3 &= 1,076890625,\\\ (1,025)^4 &= 1,103812890625,\\\ (1,025)^5 &= 1,131408212890625,\\\ (1,025)^6 &= 1,1596934182128906,\\\ (1,025)^7 &= 1,1886857536682129,\\\ (1,025)^8 &= 1,2184028975099183,\\\ (1,025)^9 &= 1,2488629699476662,\\\ (1,025)^{10} &= 1,2800845441963578,\\\ (1,025)^{11} &= 1,3120866578012668,\\\ (1,025)^{12} &= 1,3448888242462985. \end{aligned}
Expliquei: cada linha multiplica o resultado anterior por 1,025. É um procedimento mecânico que dá para fazer com calma em prova.

Passo 6

Agora multiplicamos pelo capital inicial:\n
M = 50.000,00\times 1,3448888242462985 = 67.244,441212314925.
Arredondando para centavos (duas casas decimais), obtemos M \approx 67.244,44 reais.\n
Comentário didático: a taxa nominal de 30\% ao ano, capitalizada mensalmente, gera uma taxa efetiva anual maior. A taxa efetiva anual aqui seria (1,025)^{12}-1\approx 0,344888824, ou cerca de 34,4889\% ao ano.

Resposta

\mathrm{R}\$\,67.244,44

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