1. (a) Quantos dienos lineares têm fórmula \mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{10} ? (Desconsidere os isômeros cis-trans). b) Quantos dienos lineares na parte a são dienos conjugados? c) Quantos são dienos isolados?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos isômeros de dienos acíclicos de fórmula \mathrm{C}_{6}\mathrm{H}_{10} existem, desconsiderando isomeria cis-trans, e dentre eles quantos são dienos conjuntados e quantos são dienos isolados. O conteúdo matemático aqui é contar combinações de duas ligações duplas entre os seis carbonos de uma cadeia linear, levando em conta a simetria por inversão da cadeia.

Passo 2

Vamos numerar os carbonos de 1 a 6 numa cadeia e chamar de posição k a ligação dupla entre o carbono k e k+1. Há 5 posições possíveis: \{1,2,3,4,5\}. Escolhendo duas delas, há
\binom{5}{2} = 10
configurações brutas de pares (i,j) com 1\le i<j\le5. Para eliminar duplicatas por inversão da cadeia (transformação k\mapsto6-k), observamos que essa inversão envia cada par (i,j) em (6-j,6-i).

Passo 3

Entre esses 10 pares, aqueles com i+j=6 (isto é, (1,5) e (2,4)) são fixos pela inversão; os outros 8 formam 4 pares de equivalência. Logo, o número de isômeros distintos é
\frac{10-2}{2} + 2 = 6.

Passo 4

Um dieno é conjugado se as duas duplas estiverem separadas por exatamente uma ligação simples, isto é, j-i=2. Os pares com essa propriedade são (1,3), (2,4) e (3,5). Sob inversão, (1,3)\leftrightarrow(3,5) e (2,4) é fixo. Assim há
1\text{ orbit}_\text{par}(1,3)\!-\!(3,5)\;+\;1\text{ orbit}_\text{fixo}(2,4)\;=\;2
dienos conjugados.

Passo 5

Um dieno é isolado se as duplas estiverem separadas por pelo menos duas ligações simples, isto é, j-i\ge3. Os pares são (1,4), (2,5) e (1,5). Pela inversão, (1,4)\leftrightarrow(2,5) e (1,5) é fixo. Logo há
1\text{ orbit}_\text{par}(1,4)\!-\!(2,5)\;+\;1\text{ orbit}_\text{fixo}(1,5)\;=\;2
dienos isolados.

Resposta

a) 6
b) 2
c) 2

Exercícios relacionados