1. Quantos inteiros devem ser escolhidos aleatoriamente para se ter certeza que pelo menos dois deles têm o mesmo resto quando divididos por 7 ? Justifique sua resposta

Passo 1

O enunciado pergunta quantos inteiros precisamos escolher aleatoriamente para garantir que pelo menos dois tenham o mesmo resto na divisão por 7. O conteúdo aqui é o princípio da casa dos pombos, que nos diz que se colocarmos mais “pombos” do que “casas”, alguma casa conterá pelo menos dois pombos.

Passo 2

Ao dividir qualquer inteiro por 7, o resto pertence ao conjunto de 7 possíveis valores:
\{0,1,2,3,4,5,6\}.
Cada inteiro escolhido é um “pombo” e cada possível resto é uma “casa”.

Passo 3

Para não ter certeza de repetir um resto, poderíamos escolher até um inteiro para cada resto, ou seja, escolher 7 inteiros distintos cujos restos sejam exatamente os 7 valores de 0 a 6.

Passo 4

No entanto, ao escolhermos mais do que 7 inteiros, teremos 8 “pombos” para apenas 7 “casas”. Pelo princípio da casa dos pombos, isto garante que pelo menos duas escolhas caiam na mesma casa, isto é, terão o mesmo resto ao dividir por 7.

Resposta

Precisamos escolher 8 inteiros.

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