1. Suponha um grupo de 40 pessoas, todas na faixa de 17 a 34 anos. Você quer fazer uma aposta que o grupo possui pelo menos x pessoas com a mesma idade. Qual é o maior valor de x que você pode apostar com certeza para vencer a aposta?

Passo 1

O enunciado diz que temos 40 pessoas e cada idade está entre 17 e 34, ou seja, há de 17 a 34 anos, inclusive. Isso nos dá o intervalo de idades e nos faz pensar no Princípio da Casa dos Pombos (pigeonhole): queremos garantir que algum valor de idade seja repetido pelo menos x vezes.

Passo 2

Vamos contar quantas idades distintas existem. Das 17 até 34 inclusive há
34 - 17 + 1 = 18
possíveis idades. Podemos imaginar 18 “caixas” (uma para cada idade) e 40 “pombos” (as pessoas).

Passo 3

Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se quisermos evitar que alguma caixa tenha x ou mais pombos, podemos colocar no máximo x-1 pombos em cada caixa. Então o número máximo de pessoas sem chegar a x repetidas seria
(x-1)\times 18.
Para garantir que uma caixa tenha pelo menos x pombos, precisamos que
40 > (x-1)\cdot 18.
Resolvendo para x:
(x-1) < \frac{40}{18}\approx 2{,}22 \quad\Longrightarrow\quad x-1 \le 2 \quad\Longrightarrow\quad x \le 3.
Logo, temos a certeza de que existe alguma idade com pelo menos 3 pessoas.

Passo 4

Para x=4, se cada idade aparecesse 3 vezes, teríamos até 3\times18=54 pessoas, ou seja, é possível distribuir 40 pessoas sem que nenhuma idade atinja 4 repetições. Portanto não podemos garantir x=4.

Resposta

O maior valor de x que podemos apostar com certeza de vitória é 3.

Exercícios relacionados