- Suponha um grupo de 40 pessoas, todas na faixa de 17 a 34 anos. Você quer fazer uma aposta que o grupo possui pelo menos
pessoas com a mesma idade. Qual é o maior valor de x que você pode apostar com certeza para vencer a aposta?
Passo 1
O enunciado diz que temos
pessoas e cada idade está entre
e
, ou seja, há de
a
anos, inclusive. Isso nos dá o intervalo de idades e nos faz pensar no Princípio da Casa dos Pombos (pigeonhole): queremos garantir que algum valor de idade seja repetido pelo menos
vezes.
Passo 2
Vamos contar quantas idades distintas existem. Das
até
inclusive há
possíveis idades. Podemos imaginar
“caixas” (uma para cada idade) e
“pombos” (as pessoas).
Passo 3
Pelo Princípio da Casa dos Pombos, se quisermos evitar que alguma caixa tenha
ou mais pombos, podemos colocar no máximo
pombos em cada caixa. Então o número máximo de pessoas sem chegar a
repetidas seria
Para garantir que uma caixa tenha pelo menos
pombos, precisamos que
Resolvendo para
:
Logo, temos a certeza de que existe alguma idade com pelo menos
pessoas.
Passo 4
Para
, se cada idade aparecesse
vezes, teríamos até
pessoas, ou seja, é possível distribuir
pessoas sem que nenhuma idade atinja
repetições. Portanto não podemos garantir
.
Resposta
O maior valor de
que podemos apostar com certeza de vitória é
.